Степень — короткая запись умножения одинаковых множителей. Число, которое умножают, называют основанием, а количество множителей — показателем.
Читается «два в пятой степени». Вторую степень называют квадратом, третью — кубом: эти слова пришли из площади и объёма.
Степень появляется всюду, где что-то умножается само на себя: площадь, объём, проценты по вкладу, деление клеток.
Ещё она делает записи короткими: расстояние до Солнца удобнее записать как \(1{,}5\cdot 10^{11}\) метров, чем цифрами с одиннадцатью нулями.
Знак результата зависит от чётности показателя: минусы сокращаются парами. Чётное количество минусов даёт плюс, нечётное — минус.
Отдельно повторим прошлый урок: \(-2^2\) и \((-2)^2\) — разные записи. Без скобок сначала возводят в степень, и только потом ставят минус.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Понятно почему: три двойки да четыре двойки — это семь двоек подряд.
Условие про одинаковое основание — не формальность. Выражение \(2^3\cdot 3^4\) по этому правилу не сворачивается.
При делении показатели вычитаются — это то же сокращение дроби: четыре двойки сверху и снизу уничтожаются, остаются три.
В седьмом классе договариваемся, что верхний показатель не меньше нижнего. Отрицательные степени появятся в восьмом.
Здесь показатели умножаются: четыре раза по три двойки — это двенадцать двоек.
Главная путаница темы: при умножении степеней складываем, при возведении степени в степень умножаем. Различать помогает вопрос «что здесь повторяется».
В степень возводится каждый множитель. Отсюда \((2x)^3=8x^3\): двойка тоже возводится, и про неё чаще всего забывают.
С дробью так же: и числитель, и знаменатель. А вот суммы это правило не касается — \((a+b)^2\) считается по формуле сокращённого умножения, а не почленно.
Первая степень — само число. Нулевая всегда равна единице, и это не соглашение с потолка: разделим \(2^3\) на \(2^3\). Слева получится единица, справа по правилу деления — \(2^0\).
Оговорка «при \(a\ne 0\)» нужна: выражение \(0^0\) не определено.
В порядке действий степень идёт сразу после скобок — раньше умножения. Поэтому в первом примере сначала считается \(4^2\).
Полезно решить оба примера рядом: разница только в скобках, а ответы различаются в полтора раза.
Три ошибки на каждой контрольной: умножили основание на показатель, перемножили показатели вместо сложения, забыли возвести коэффициент.
Все три проверяются подстановкой маленького числа. Возьмите \(x=2\): \(2^2\cdot 2^3=32\), и \(2^5=32\) — сходится, а \(2^6=64\) — нет.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.