Почти любая задача этой темы — про две величины, связанные друг с другом: купили больше — заплатили больше, поехали быстрее — потратили меньше времени.
Удобнее всего записывать такие пары таблицей в две строки: сверху одна величина, снизу вторая. Дальше смотрим, что происходит со второй строкой, когда первая растёт.
Величины прямо пропорциональны, если во сколько раз растёт одна, во столько же раз растёт другая. Проверка простая: отношение второй величины к первой всё время одно и то же.
Записывают это как \(y=kx\). Прямая пропорциональность — это цена по количеству, путь при постоянной скорости, масса по объёму.
Коэффициент \(k\) — это не абстрактная буква, а всегда что-то понятное: цена за штуку, скорость, расход на километр, масса кубометра.
Найти его просто: разделить любую пару значений друг на друга. И наоборот, зная \(k\), можно достроить всю таблицу.
Здесь наоборот: одна величина растёт — вторая во столько же раз убывает. Постоянно теперь не частное, а произведение: \(xy=k\).
Смысл произведения тоже понятный: 24 — это общий объём работы в «человеко-днях». Сколько бы рабочих ни вышло, работы меньше не станет.
Не запоминайте формулы — задайте один вопрос: если первую величину увеличить вдвое, вторая тоже станет вдвое больше или вдвое меньше?
Больше и больше — прямая. Больше и меньше — обратная. Этот вопрос надёжнее любых заученных признаков, потому что опирается на смысл задачи.
Важная оговорка: не всякая пара величин пропорциональна. Сторона квадрата и его площадь растут вместе, но вдвое большая сторона даёт вчетверо большую площадь — это не прямая пропорциональность.
Возраст и рост человека тоже связаны, но вдвое старше не значит вдвое выше. Прежде чем составлять пропорцию, стоит убедиться, что она здесь уместна.
Пропорция — равенство двух отношений. Основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть перемножаем крест-накрест.
Так решается любая задача на прямую пропорциональность: составили пропорцию, перемножили, нашли неизвестное.
Масштаб — чистая прямая пропорциональность. На карте 1 см соответствует 250 м, значит, 7 см — это \(7\cdot 250=1750\) м.
Обратный ход нужен не реже: 2 км на местности — это \(2000:250=8\) см на карте. Следите за единицами: метры и сантиметры путать нельзя.
В обратной пропорциональности пропорцию составлять нельзя — равны не отношения, а произведения. Приравниваем \(5\cdot 12\) и \(6\cdot x\).
Проверка смыслом обязательна: насосов стало больше, значит, время должно уменьшиться. Получилось 10 часов вместо 12 — сходится.
Главная ошибка темы — составить пропорцию там, где зависимость обратная. Ответ получается «в другую сторону»: время выросло, хотя насосов стало больше.
Вторая ошибка — перепутать порядок величин в пропорции: в обеих частях сверху должна стоять одна и та же величина. Спасает подпись строк словами, а не буквами.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.
Задачи с проверкой ответа и разбором ошибок — закрепить урок самостоятельно.