Натуральных чисел хватало, пока из большего вычитали меньшее. Но \(5-8\) в натуральных не считается, а в жизни такая разность встречается постоянно: долг, мороз, подземный этаж, минус на счёте.
Поэтому числовой ряд продлили влево за нуль. Каждый раз, когда чисел не хватало, их придумывали заново: так появились дроби (чтобы делить), а потом отрицательные (чтобы вычитать).
К седьмому классу в руках три семейства. Натуральные — для счёта предметов. Целые — натуральные, нуль и отрицательные. Дробные — обыкновенные и десятичные, с любым знаком.
Всё это вместе называют рациональными числами. Слово идёт не от «разумный», а от ratio — отношение, то есть дробь.
Определение короткое: число рационально, если его можно записать дробью \(\dfrac{m}{n}\), где сверху целое, а снизу натуральное.
Проверим на непохожих: \(5=\tfrac{5}{1}\), \(-2{,}5=-\tfrac{5}{2}\), \(0=\tfrac{0}{1}\). Все трое подошли. Значит, и целые, и десятичные дроби — частные случаи одного семейства.
У каждого рационального числа своё место на прямой, и наоборот: показали точку — получили число. Отрицательные слева от нуля, положительные справа, и чем правее, тем больше.
Числа, стоящие на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны, называют противоположными: 4 и −4. Их сумма всегда нуль.
Модуль — расстояние от нуля до числа, а расстояние отрицательным не бывает. Поэтому модуль всегда неотрицателен, и у противоположных чисел он общий.
Модуль пригодится сразу же: правила сложения и вычитания удобнее всего формулируются именно через модули.
Правило одно: левее — меньше. Отсюда то, что сбивает весь класс: \(-7<-2\), хотя «семь больше двух». У отрицательных чем больше модуль, тем само число меньше.
Дроби сравниваем приведением к общему знаменателю; десятичные — по разрядам, дописав нули до одинаковой длины.
Знаки одинаковые — складываем модули, знак оставляем. Знаки разные — из большего модуля вычитаем меньший, а знак берём у того числа, чей модуль больше.
Образ для класса: плюс — доход, минус — долг. Долг 7 и доход 4 дают долг 3 — ровно \(-7+4=-3\).
Отдельного правила вычитания нет: вычесть число — значит прибавить противоположное. Любую разность сводим к сумме и пользуемся прошлым шагом.
Это же снимает страх перед «минус минус»: \(-4-(-6)\) превращается в \(-4+6\) и спокойно считается.
Правило знаков одинаково для умножения и деления: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
Когда множителей много, считать по парам долго. Проще посчитать минусы: чётное число минусов даёт плюс, нечётное — минус. Модуль результата считается отдельно.
Первая ошибка — квадрат отрицательного числа без скобок: в записи \(-3^2\) сначала возводят в квадрат, и только потом ставят минус.
Вторая — при разных знаках складывают модули вместо вычитания. Третья — сравнивают отрицательные «как обычные».
Проверка от всех трёх одна: прикиньте ответ на координатной прямой. Если результат должен быть ближе к нулю, а получился дальше — ошибка.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.