Эти три равенства можно каждый раз выводить умножением, но их выучивают — слишком часто они встречаются. Выигрыш двойной: они ускоряют раскрытие скобок и, прочитанные справа налево, раскладывают выражение на множители.
Именно вторая сторона важнее: в ОГЭ чаще нужно свернуть выражение, чем развернуть.
Формула не берётся ниоткуда: это обычное умножение многочлена на многочлен. Четыре произведения, два из них подобны — отсюда удвоенное произведение.
Проговаривайте словами: «квадрат первого, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго». Слова запоминаются лучше букв и не путаются при других обозначениях.
Нарисуйте квадрат со стороной \(a+b\) и разрежьте его линиями на четыре части: квадрат \(a^2\), два одинаковых прямоугольника \(ab\) и квадратик \(b^2\).
Формула становится очевидной, а заодно видно, почему слагаемых именно три, а не два: два одинаковых прямоугольника и есть удвоенное произведение.
Отличие одно: средний член со знаком минус. Крайние остаются положительными — квадрат любого числа неотрицателен.
Частая ошибка — написать в конце \(-b^2\). Проверка мгновенная: при \(x=0\) выражение \((0-4)^2\) равно 16, а не −16.
Соблазн раскрыть скобку «почленно» велик, и почти каждый класс через это проходит. Лучшее лекарство — числа: \((3+4)^2=49\), а \(3^2+4^2=25\). Разница как раз \(2\cdot 3\cdot 4=24\).
Этот пример стоит записать на доске и не стирать до конца урока: к нему придётся возвращаться.
Третья формула красива тем, что средние члены уничтожаются: остаётся разность квадратов.
Читайте её и справа налево: любая разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности. Это самый частый способ разложения в седьмом классе.
Формулы отлично считают в уме. Число разбивают на удобное круглое плюс-минус остаток — и дальше по формуле.
Это самый убедительный аргумент в пользу темы: класс видит, что формула не для тетради, а для скорости. Дайте два-три таких примера подряд.
Чтобы свернуть выражение, ищут в нём приметы формулы: два квадрата через минус — это разность квадратов; квадрат, удвоенное произведение и квадрат — это квадрат суммы или разности.
Порядок действий на уроке: сначала спросить «что здесь квадрат чего», и только потом писать ответ. \(4x^2\) — это квадрат \(2x\), а 25 — квадрат 5.
Формула работает с любыми выражениями, а не только с буквами: вместо \(a\) может стоять \(2x\), вместо \(b\) — число.
Главное — не забыть возвести коэффициент: \((2x)^2=4x^2\), а не \(2x^2\). И удвоенное произведение считается целиком: \(2\cdot 2x\cdot 3=12x\).
Та же проверка, что и всегда: подставили число в исходное и в результат. Для формул она особенно полезна — ошибки здесь тихие, выражение выглядит правдоподобно.
Берите \(x=1\) для скорости и \(x=2\) для надёжности: на единице квадрат и удвоенное произведение иногда случайно совпадают.
Четыре ошибки: забыли удвоенное произведение, поменяли знак у последнего члена, не возвели коэффициент и попытались разложить сумму квадратов.
Последнее стоит проговорить отдельно: сумма квадратов на множители не раскладывается — такой формулы нет. Разность раскладывается, сумма нет.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.