Стороны при прямом угле называют катетами, сторону против него — гипотенузой. Гипотенуза всегда самая длинная: против большего угла лежит большая сторона.
Два острых угла дополняют друг друга до 90° — это мы вывели из суммы углов треугольника. Значит, зная один острый угол, второй находим устно.
Главное свойство темы: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Это одно из самых полезных утверждений в школьной геометрии: оно встречается в задачах постоянно и позволяет найти сторону без всяких вычислений.
Отразили — все три угла стали по 60°, значит, треугольник ABB₁ равносторонний и BB₁ = AB = 2a. Но BB₁ — это два катета BC, поэтому BC = AB : 2.
Отразим наш треугольник относительно катета \(AC\). Угол при вершине \(A\) станет \(30+30=60^\circ\), а два других тоже по 60° — получился равносторонний треугольник.
Его сторона равна гипотенузе \(AB\), а наш катет \(BC\) — ровно половина стороны этого равностороннего треугольника. Отсюда и берётся половина.
Обратное утверждение тоже верно: если катет вдвое меньше гипотенузы, то угол против него равен 30°.
Пользуются им реже, но в задачах на доказательство оно выручает: увидели отношение 1 к 2 — сразу знаете угол.
Если меньший катет равен половине гипотенузы, то второй находится по теореме Пифагора — её будем проходить в восьмом классе.
Сейчас достаточно запомнить пропорцию сторон такого треугольника: \(1:\sqrt{3}:2\). Она пригодится и в геометрии, и в физике при разложении сил.
Второй частый случай: катеты равны. Тогда равны и углы против них, а вместе они дают 90° — значит, по 45° каждый.
Такой треугольник — половина квадрата, разрезанного по диагонали. Полезный образ: из него сразу видно, что гипотенуза — диагональ квадрата.
Порядок решения всегда один: нашли второй острый угол, определили, какой катет лежит против 30°, взяли половину гипотенузы.
Ошибиться легко на втором шаге: против 60° лежит больший катет, и половиной гипотенузы он не является.
Угол 30° — привычная величина в стройке: под таким углом делают пандусы и скаты. Правило «поднялся вдвое меньше, чем прошёл по наклонной» — это и есть наше свойство.
В задачах ОГЭ это лестница у стены, столб и его тень, склон горы. Полезно нарисовать чертёж и отметить, что дано.
Для прямоугольных треугольников признаки равенства короче: прямой угол у них уже общий, значит, достаточно двух элементов вместо трёх.
Это не новые теоремы, а следствия прежних: например, «по двум катетам» — это первый признак, где угол между сторонами прямой.
Три ошибки: перепутали, против какого угла лежит половина; назвали катетом сторону против прямого угла; применили свойство там, где прямого угла нет вовсе.
Проверка на каждый раз: найдите прямой угол на чертеже, назовите гипотенузу, и только потом ищите угол 30°.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.