Сумма углов треугольника: доказательство в две строки и всё, что из него следует.
Вырежьте из бумаги треугольник, оторвите три уголка и приложите их вершинами в одну точку. Углы сложатся в прямую линию.
Опыт — не доказательство: бумага мнётся, ножницы кривые. Но он показывает, что искать, и класс дальше слушает доказательство с интересом, а не по обязанности.
Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Любого — остроугольного, тупоугольного, огромного, крошечного.
Это одна из самых полезных теорем всего курса: она нужна почти в каждой задаче на углы и в половине задач ОГЭ по геометрии.
Проведём через вершину \(B\) прямую, параллельную стороне \(AC\). При параллельных прямых накрест лежащие углы равны: \(\angle 1=\angle A\) и \(\angle 2=\angle C\).
Три угла при вершине \(B\) вместе составляют развёрнутый угол, то есть 180°. Заменяем \(\angle 1\) и \(\angle 2\) на равные им — получаем теорему.
Углы 1 и A накрест лежащие при параллельных — они равны. Так же равны 2 и C. Три угла при вершине B дают развёрнутый угол, значит, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Если бы в треугольнике было два прямых угла, на них ушло бы уже 180°, и третьему углу не осталось бы ничего. Значит, такого треугольника нет.
Так же и с двумя тупыми. Отсюда: в любом треугольнике не меньше двух острых углов, а тупой или прямой может быть только один.
Один угол забрал 90°, значит, на два оставшихся приходится ровно 90°. Острые углы прямоугольного треугольника всегда дополняют друг друга до прямого.
Отсюда быстрый счёт: если один острый угол 35°, второй — 55°, без всяких уравнений.
Если все стороны равны, то равны и все углы (это докажем на следующем уроке). Тогда каждый угол равен \(180:3=60^\circ\).
Число 60 стоит запомнить: равносторонний треугольник встречается в задачах постоянно, и его углы обычно не дают в условии.
Внешний угол — тот, что смежен с углом треугольника. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказывается в одну строку: внешний равен \(180^\circ-\angle C\), и сумма двух других углов равна тому же. Свойство экономит время в задачах и любимо составителями.
Самая частая задача: углы относятся как такие-то числа. Обозначаем их \(2x\), \(3x\), \(4x\), складываем и приравниваем к 180°.
Второй тип: один угол на столько-то больше другого. Тот же приём — обозначили меньший буквой, остальные выразили через неё.
Проведём диагональ — четырёхугольник распался на два треугольника. Значит, сумма его углов вдвое больше: 360°.
Тем же приёмом считается сумма углов пятиугольника и любого многоугольника: сколько треугольников получилось при разрезании, столько раз по 180°.
Три ошибки: думают, что у большого треугольника сумма больше; путают внешний угол с чем-то другим; складывают только два известных угла и забывают, что искомый — третий.
Проверка простая: сложите все три найденных угла. Если получилось не 180°, ошибка есть, и искать её недалеко.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.