Все три выходят из вершины, но приходят по-разному: медиана — в середину противоположной стороны, биссектриса — куда попадёт, лишь бы угол разделился пополам, высота — под прямым углом.
Из каждой вершины можно провести все три, итого девять линий. В задачах обычно нужна одна, и первое дело — понять, какая.
В обычном треугольнике это три разные линии и три разные точки на стороне AC. Совпадают они только в равнобедренном — и то лишь у той вершины, что между равными сторонами.
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Она делит сторону пополам — про угол здесь речи нет.
Три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка — центр тяжести: вырезанный из картона треугольник уравновешивается на кончике карандаша именно там.
Биссектриса делит угол пополам. Сторону она при этом делит на части, но, как правило, не пополам — только в равнобедренном треугольнике, если проведена из вершины.
Три биссектрисы тоже пересекаются в одной точке — это центр вписанной окружности, с ним познакомимся позже.
Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону.
Слова «на прямую, содержащую сторону» неспроста: иногда основание высоты оказывается вне самой стороны. Об этом — следующий шаг.
В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри. В прямоугольном две из них совпадают с катетами. А в тупоугольном две высоты оказываются снаружи: их опускают на продолжение стороны.
Это место стоит нарисовать на доске: ученики, привыкшие к «высоте внутри», в тупоугольном треугольнике теряются.
Повторим прошлый урок: в равнобедренном треугольнике линия, проведённая из вершины к основанию, работает во всех трёх ролях сразу.
В равностороннем это верно для всех трёх вершин. А в обычном треугольнике три линии из одной вершины — три разные линии, и путать их нельзя.
Медиана разрезает треугольник на два с равными площадями: основания у них равны по определению медианы, а высота из вершины \(A\) у обоих одна и та же.
Свойство простое, а в задачах на площади выручает постоянно — особенно когда просят найти часть фигуры.
Задачи обычно устроены так: провели одну из линий, получили новый треугольник и в нём считают углы.
Порядок действий: отметить на чертеже, что даёт линия (равные углы или равные отрезки, или прямой угол), затем работать с новым треугольником как с обычным.
Простые зацепки для памяти. Медиана — от слова «медиана, средняя», идёт в середину стороны. Биссектриса — «рассекающая надвое», режет угол. Высота — как в строительстве, всегда под прямым углом к основанию.
На чертеже их различают по значкам: чёрточки на сторонах — медиана, дужки на углах — биссектриса, квадратик — высота.
Три ошибки: приписали биссектрисе свойство медианы, провели высоту «на глаз», не нашли высоту в тупоугольном треугольнике.
Первая — самая частая и самая дорогая: на ней разваливается всё решение. Проверяйте по определению каждый раз, пока не станет привычкой.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.