У треугольника шесть элементов: три стороны и три угла. Чтобы убедиться, что два треугольника равны, пришлось бы сверить все шесть — а на чертеже половина из них не дана.
Признак говорит: достаточно трёх элементов, подобранных особым образом. Это и делает геометрию наукой о доказательствах, а не об измерениях.
Два треугольника равны, если их можно совместить наложением. Из этого следует, что у них попарно равны все стороны и все углы.
Обратите внимание на слово «соответственные»: равны не любые стороны, а те, что при наложении легли друг на друга.
Запись равенства треугольников не просто называет их — она задаёт соответствие вершин. Первая буква отвечает первой, вторая — второй.
Поэтому переставлять буквы нельзя: из \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) следует \(AB=A_1B_1\), а из неверной записи получатся неверные равенства. На это в задачах на доказательство смотрят строго.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.
Наглядно: угол задаёт «раствор», две стороны — длины его лучей. Третья сторона тогда определяется однозначно, деваться ей некуда.
Слово «между» не украшение. Если угол лежит не между данными сторонами, треугольник может получиться двумя разными способами — равенство не гарантировано.
Это стоит показать на чертеже: из одной точки проводим окружность нужного радиуса, и она пересекает прямую в двух местах. Два треугольника, оба подходят под условие, но они разные.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим углам другого — треугольники равны.
Наглядно: сторона задаёт основание, два угла задают направления оставшихся сторон, а они пересекутся ровно в одной точке.
Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого, треугольники равны. Углы при этом проверять не нужно — они получаются сами.
Отсюда жёсткость треугольника: конструкция из трёх реек не складывается, в отличие от четырёхугольника. Поэтому треугольник и встречается во всех фермах, стропилах и кронштейнах.
Зелёные чёрточки — равные стороны, синие дужки — равные углы. В каждом признаке ровно три отметки: больше знать не нужно, меньше — не хватит. Признака «две стороны и любой угол» не существует.
Доказательство — это текст, а не набор значков. Порядок такой: выписали, что дано; добавили то, что видно на чертеже (общая сторона, вертикальные углы); назвали признак; сделали вывод.
Признак обязательно называют вслух и по имени: «по первому признаку». Без этой фразы работа считается неполной.
В задачах редко дают все три равенства прямо. Одно из них почти всегда прячется в чертеже: общая сторона у двух треугольников равна сама себе, вертикальные углы равны, при параллельных прямых равны накрест лежащие.
Совет для урока: прежде чем думать над признаком, обведите на чертеже всё, что равно и так. Обычно после этого решение видно сразу.
Равенство треугольников доказывают не ради самого равенства, а чтобы получить нужный элемент: сторону, угол, а иногда параллельность.
Формулировка в тетради: «из равенства треугольников следует, что …». Это последний шаг решения, и его часто забывают написать.
Три ошибки: взяли угол не между сторонами, записали соответствие вершин наперекосяк, сослались на несуществующий признак «по трём углам».
Последнее особенно важно: по трём углам треугольники не равны, они лишь подобны. Разберём это в восьмом классе, но запомнить стоит сейчас.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.