Возьмём три полоски бумаги и попробуем сложить треугольник. Из 3, 4 и 5 получается легко. Из 3, 4 и 9 — никак: две короткие не дотягиваются друг до друга.
Значит, треугольник существует не для любых трёх длин. Вопрос — как отличить «получится» от «не получится», не беря в руки ножницы.
Слева 3 + 4 = 7, а это меньше 9 — концы не встречаются ни при каком наклоне. Справа 3 + 4 = 7 > 5, и треугольник получается. Сравнивать достаточно с самой длинной стороной.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Записывают это тремя неравенствами — по одному на каждую сторону.
Если хотя бы одно не выполняется, треугольника с такими сторонами не существует.
Доказательство сводится к тому, что прямая — кратчайший путь между двумя точками. Идти из \(A\) в \(B\) напрямую короче, чем через \(C\).
Житейская проверка: срезать угол через газон всегда короче, чем обходить по дорожкам. Дети это знают лучше взрослых.
На практике три неравенства проверять не нужно. Достаточно взять самую длинную сторону и сравнить её с суммой двух других.
Если самая длинная меньше суммы остальных, то и прочие неравенства выполняются автоматически. Одна проверка вместо трёх.
Обратная задача: две стороны известны, что можно сказать о третьей? Она больше разности и меньше суммы данных сторон.
Верхняя граница — из неравенства треугольника, нижняя — из него же, применённого к другой стороне. Обе границы строгие: ровно 4 или ровно 14 не годятся.
Второе важное соотношение темы: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Отсюда, зная порядок сторон, сразу знаем порядок углов. И в равнобедренном треугольнике всё сходится: равные стороны — равные углы.
В прямоугольном треугольнике самый большой угол — прямой, значит, наибольшая сторона лежит против него. Это гипотенуза.
Отсюда полезное следствие: каждый катет меньше гипотенузы. В задачах это часто помогает отбросить неверный вариант ответа без вычислений.
Задачи обычно совмещают неравенство с периметром. Подбираем стороны так, чтобы сумма сошлась, и проверяем неравенство треугольника.
Вариант 2, 2, 16 даёт тот же периметр, но треугольника не существует. Проверку делают всегда, даже когда числа выглядят мирно.
Неравенство треугольника — не отдельная задача, а инструмент проверки. Получили в ответе стороны — сложите две меньшие и сравните с большей.
В ОГЭ оно встречается прямо: в задании на верные и неверные высказывания почти всегда есть пункт про существование треугольника.
Три ошибки: посчитали равенство за неравенство, сравнили сумму не с самой длинной стороной, включили концы в диапазон третьей стороны.
Про равенство стоит сказать отдельно: при \(1+2=3\) отрезки ложатся на одну прямую, треугольник вырождается в отрезок. Такого треугольника нет.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.