Задачу про сорок шаров можно решить подбором, но подбор работает, пока числа маленькие и целые. Уравнение решает её один раз и любыми числами.
Главное умение этой темы — не решать уравнение (это уже умеем), а составить его: перевести русский текст в равенство.
Порядок один и тот же для любой задачи. Пятый шаг выделен нарочно: чаще всего балл теряют не в вычислениях, а на нём.
Первые уроки полезно требовать все пять шагов письменно — тогда у ученика появляется опора, к которой он возвращается, когда задача незнакомая.
Общее правило: за \(x\) берут меньшую величину или ту, через которую легко выразить остальные. Тогда в уравнении не появляется дробей.
Если взять за \(x\) первую коробку, получится \(x+\tfrac{x}{3}=40\) — тоже верно, но считать неудобнее. Стоит показать оба пути и сравнить.
Здесь и живёт половина ошибок: «на» и «в» путают постоянно. «На столько-то» — прибавить или вычесть, «во столько-то раз» — умножить или разделить.
Проверять записанное лучше числом: если \(x=10\), то «в 5 раз больше» — это 50, а не 15. Пятнадцать секунд, и ошибка не доживёт до уравнения.
Равенство берут из той фразы условия, которая ещё не использована. Обычно это слова «всего», «вместе», «на столько-то больше», «поровну», «в сумме».
Полезный приём: подчеркнуть в тексте задачи все числа и слова-связки. Одно из них уходит на выражение величин, другое становится уравнением.
В задачах на возраст все прибавляют одинаковое число лет — и сыну, и отцу. Это место чаще всего и подводит: возраст отца увеличивают, а сына забывают.
Полезно завести на доске две строки: «сейчас» и «через 5 лет» — и заполнить их обе, прежде чем составлять равенство.
В задачах на движение помогает таблица из трёх столбцов: скорость, время, расстояние. Заполняем то, что дано, остальное выражаем через \(x\).
Равенство обычно даёт расстояние: туда и обратно путь один и тот же. Реже — время или суммарный путь.
Тот же план: обозначили одну цену, вторую выразили, собрали стоимость покупки и приравняли к сумме из условия.
Обратите внимание на скобки: две ручки — это \(2(x-12)\), а не \(2x-12\). Забытая скобка — самая частая ошибка в задачах на покупки.
Корень уравнения ещё не ответ задачи. Отрицательный возраст, дробное число людей, скорость больше скорости света — всё это отбрасывается по смыслу.
Проверять надо и по самому условию: подставьте найденные величины и перечитайте задачу. Сходится — можно писать ответ.
Последний шаг, на котором теряют больше всего баллов. За \(x\) взяли возраст сына, а спрашивали про отца — значит, в ответ идёт \(x+26\), а не \(x\).
Привычка, которая спасает: закончив решение, вернитесь к последней строке условия и прочитайте вопрос ещё раз. Только потом пишите «Ответ».
Три ошибки: потеряли скобку, перепутали «на» и «в», ответили не на тот вопрос.
Против первых двух работает проверка числом на этапе составления, против третьей — перечитанный вопрос. Ни одна из них не связана с умением решать уравнения, и это стоит сказать классу прямо.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.