Домашняя работа · Вписанный четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник — домашняя работа

Четыре блока: противоположные углы, частные случаи, описанный четырёхугольник и вписанные углы/дуги. Сначала решите сами, затем нажмите «Показать решение».

Как выполнять

Инструкция

Вписанный: $\angle A + \angle C = 180°$, $\angle B + \angle D = 180°$.
Противоположный угол: $180° - $ известный угол.
Описанный (теорема Пито): $AB + CD = BC + AD$.
Вписанный угол $= \dfrac{1}{2}\cdot$ дуга.
Решение под каждой задачей спрятано: открывайте его после своей попытки.

Нужна теория? Открыть конспект «Вписанный четырёхугольник» →

Содержание

1 Противоположные углы 2 Частные случаи 3 Описанный четырёхугольник 4 Вписанные углы и дуги

Блок 1

Противоположные углы база

Сумма противоположных углов равна $180°$.

1.1Угол $A$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ равен $70°$. Найдите угол $C$.

Показать решение

$\angle C = 180° - 70° = 110°$.
Ответ: $110°$

1.2Угол $B$ равен $95°$. Найдите противоположный угол $D$.

Показать решение

$\angle D = 180° - 95° = 85°$.
Ответ: $85°$

1.3Угол $A$ равен $110°$. Найдите угол $C$.

Показать решение

$\angle C = 180° - 110° = 70°$.
Ответ: $70°$

1.4Угол $D$ равен $60°$. Найдите противоположный угол $B$.

Показать решение

$\angle B = 180° - 60° = 120°$.
Ответ: $120°$

Блок 2

Частные случаи средне

Используем свойства углов.

2.1Параллелограмм вписан в окружность. Чему равны его углы?

Показать решение

У параллелограмма противоположные углы равны, а у вписанного — в сумме $180°$. Значит каждый $= 90°$ (это прямоугольник).
Ответ: все по $90°$

2.2Три угла вписанного четырёхугольника по порядку: $80°$, $100°$, $100°$. Найдите четвёртый угол.

Показать решение

Углы по порядку — $A,B,C,D$. $\angle A + \angle C = 180°$: $80° + 100° = 180°$ ✓. Тогда $\angle D = 180° - \angle B = 180° - 100° = 80°$.
Ответ: $80°$

2.3Угол $A$ вписанного четырёхугольника в $2$ раза больше угла $C$. Найдите угол $A$.

Показать решение

$\angle A + \angle C = 180°$, $\angle A = 2\angle C$. Тогда $3\angle C = 180°$, $\angle C = 60°$, $\angle A = 120°$.
Ответ: $120°$

2.4Можно ли вписать в окружность четырёхугольник с углами $90°$, $80°$, $90°$, $100°$? (да/нет)

Показать решение

Проверяем суммы противоположных: $90°+90°=180°$ ✓, но $80°+100°=180°$ ✓. Обе суммы по $180°$ — вписать можно.
Ответ: да

Блок 3

Описанный четырёхугольник средне

Теорема Пито: $AB + CD = BC + AD$.

3.1$ABCD$ описан около окружности. $AB = 5$, $BC = 4$, $CD = 6$. Найдите $AD$.

Показать решение

$AB + CD = BC + AD \Rightarrow AD = 5 + 6 - 4 = 7$.
Ответ: $7$

3.2$ABCD$ описан около окружности. $AB = 8$, $CD = 5$, $AD = 9$. Найдите $BC$.

Показать решение

$BC = AB + CD - AD = 8 + 5 - 9 = 4$.
Ответ: $4$

3.3$ABCD$ описан около окружности. $BC = 6$, $AD = 7$, $CD = 5$. Найдите $AB$.

Показать решение

$AB = BC + AD - CD = 6 + 7 - 5 = 8$.
Ответ: $8$

3.4В описанном четырёхугольнике две противоположные стороны $7$ и $9$, одна из двух других $6$. Найдите четвёртую сторону.

Показать решение

Сумма одной пары: $7 + 9 = 16$. Значит вторая пара тоже $16$: четвёртая $= 16 - 6 = 10$.
Ответ: $10$

Блок 4

Вписанные углы и дуги сложнее

Вписанный угол — половина дуги.

4.1Дуга $BC = 140°$. Найдите вписанный угол $\angle BAC$, опирающийся на неё.

Показать решение

$\angle BAC = \dfrac{140°}{2} = 70°$.
Ответ: $70°$

4.2Дуга $BC = 100°$. Найдите вписанный угол $\angle BAC$.

Показать решение

$\angle BAC = \dfrac{100°}{2} = 50°$.
Ответ: $50°$

4.3Вписанный угол $\angle BAC = 35°$. Найдите дугу $BC$, на которую он опирается.

Показать решение

$BC = 2 \cdot 35° = 70°$.
Ответ: $70°$

4.4Вписанный угол опирается на диаметр. Чему он равен?

Показать решение

Диаметр стягивает дугу $180°$, угол — половина: $90°$.
Ответ: $90°$

↑ Наверх

Вписанный четырёхугольник — домашняя работа

Инструкция

Противоположные углы база

Частные случаи средне

Описанный четырёхугольник средне

Вписанные углы и дуги сложнее

Проверьте себя на тесте