Сложение и вычитание алгебраических дробей: общий знаменатель, скобки и минус перед дробью.
Алгебраические дроби складываются ровно так же, как числовые. Поэтому начинаем с чисел: кто уверенно находит НОК, тот и с буквами справится.
Ответы: \(\frac16+\frac14=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}\); \(\frac{5}{12}-\frac38=\frac{10}{24}-\frac{9}{24}=\frac{1}{24}\); НОК(6; 4) = 12, НОК(12; 8) = 24.
При одинаковых знаменателях складывают или вычитают числители, а знаменатель оставляют: \(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\).
\(\frac{2x}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{2x-x-1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\) при \(x\ne1\). Ответ часто оказывается проще условия — это хороший знак.
Минус перед дробью относится ко всему её числителю. Поэтому вычитаемый числитель берём в скобки и раскрываем со сменой знаков.
\(5a-(3a-4)=5a-3a+4=2a+4=2(a+2)\), и дробь \(\frac{2(a+2)}{a+2}\) сокращается до 2.
Всё как с обычными дробями: находим наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.
У 4 и 6 НОЗ равен 12, дополнительные множители 3 и 2: \(\frac{x}{4}+\frac{x}{6}=\frac{3x}{12}+\frac{2x}{12}=\frac{5x}{12}\).
Общий знаменатель одночленов: число — НОК коэффициентов, каждая буква — в наибольшей встретившейся степени.
Для \(2a^2b\) и \(3ab^2\) это \(6a^2b^2\). Дополнительные множители — \(3b\) и \(2a\): \(\frac{3b}{6a^2b^2}+\frac{2a}{6a^2b^2}=\frac{3b+2a}{6a^2b^2}\).
Прежде чем искать общий знаменатель, раскладываем каждый знаменатель на множители. Часто оказывается, что один уже содержит другой.
\(x^2-9=(x-3)(x+3)\) — это и есть общий знаменатель. Первой дроби не хватает \((x+3)\): \(\frac{x+3-6}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\frac{1}{x+3}\).
Если знаменатели общих множителей не имеют, общий знаменатель — их произведение.
\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}=\frac{a+1-a}{a(a+1)}=\frac{1}{a(a+1)}\). Этот приём пригодится позже, когда будем складывать много таких дробей подряд.
Целое выражение — это дробь со знаменателем 1. Приводим его к знаменателю второй дроби.
\((x+1)(x-1)-x^2=x^2-1-x^2=-1\), значит \(x+1-\frac{x^2}{x-1}=-\frac{1}{x-1}\), или, что то же самое, \(\frac{1}{1-x}\).
Знаменатели \(a-b\) и \(b-a\) отличаются только знаком. Меняем знак у знаменателя — меняем знак перед дробью: \(\frac{b}{b-a}=-\frac{b}{a-b}\).
После этого знаменатели одинаковые: \(\frac{a-b}{a-b}=1\) при \(a\ne b\).
Сначала упрощаем, потом подставляем. Общий знаменатель \((x-2)(x+2)\): \(\frac{2(x+2)-8}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{2}{x+2}\).
При \(x=0{,}5\): \(\frac{2}{2{,}5}=0{,}8\). Ответ легко проверить, подставив 0,5 в исходное выражение, — выйдет то же число.
От одинаковых знаменателей — к разложению и противоположным скобкам. В каждом ответе стоит проверить, не сокращается ли он дальше.
Ответы для учителя: 1) \(3\); 2) \(\frac{2a}{15}\); 3) \(\frac{3x+2y}{12x^2y}\); 4) \(\frac{5}{a+5}\); 5) \(\frac{2x}{x+2}\); 6) \(1\).
Самая грубая ошибка — складывать знаменатели. Проверка на числах: \(\frac12+\frac12=1\), а «формула» дала бы \(\frac24=\frac12\).
Вторая — забыть скобки после минуса. Третья не ошибка, но беда: перемножить знаменатели, не разложив их, и потом утонуть в сокращении.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.