Алгебраическая дробь: где она не существует и как её сокращать, не ломая выражение.
Весь урок держится на разложении на множители: без него сокращать нечего. Пять минут устно — и тема пойдёт.
Ответы: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\); \(a^2+6a+9=(a+3)^2\); \(3m-12=3(m-4)\); \(xy-2y=y(x-2)\). Если класс спотыкается на втором — повторите формулу квадрата суммы, дальше она понадобится.
Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены: \(\frac{a+3}{a-2}\), \(\frac{5x}{x^2-1}\), \(\frac{2}{b}\).
С обычными дробями она ведёт себя одинаково: те же правила сокращения, сложения, умножения. Разница одна — вместо чисел буквы, и за буквами надо следить.
Делить на ноль нельзя, поэтому у дроби есть запрещённые значения переменной — те, при которых знаменатель обращается в ноль.
Для \(\frac{x+1}{x^2-9}\) решаем \(x^2-9=0\): получаем \(x=3\) и \(x=-3\). При остальных \(x\) дробь имеет смысл. Числитель на это не влияет: ноль в числителе — нормальный ноль, а не запрет.
Числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение — дробь не изменится: \(\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\).
Деление на общий множитель и называется сокращением. Ключевое слово — множитель: сокращать можно только то, что стоит множителем и сверху, и снизу.
Если сверху и снизу одночлены, сокращаем по частям: числа — на их НОД, каждую букву — на меньшую степень.
\(\frac{12a^3b}{18ab^2}\): НОД чисел 6, букву \(a\) — на \(a\), букву \(b\) — на \(b\). Общий множитель \(6ab\), остаётся \(\frac{2a^2}{3b}\).
Многочлен сократить «на глаз» нельзя: сначала превращаем числитель и знаменатель в произведения, потом ищем одинаковые множители.
\(x^2-9=(x-3)(x+3)\) — разность квадратов, \(x^2+3x=x(x+3)\) — вынесли общий множитель. Общая скобка \((x+3)\) сокращается: \(\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{x-3}{x}\).
Порядок разложения всегда один: сначала общий множитель за скобку, потом формулы сокращённого умножения, потом группировка.
\(5a-10=5(a-2)\), \(a^2-4=(a-2)(a+2)\), и дробь сокращается на \((a-2)\): получаем \(\frac{5}{a+2}\).
Скобки \((a-b)\) и \((b-a)\) не одинаковые, а противоположные: \(b-a=-(a-b)\). Сократить их можно, но за это платят минусом.
\(\frac{a^2-ab}{b^2-ab}=\frac{a(a-b)}{b(b-a)}=\frac{a(a-b)}{-b(a-b)}=-\frac{a}{b}\). Минус не теряем — на нём ломается больше всего ответов.
Трёхчлен вида \(m^2-6m+9\) стоит проверить на полный квадрат: первый и последний члены — квадраты, средний — удвоенное произведение. Здесь \(m^2-6m+9=(m-3)^2\).
Тогда \(\frac{(m-3)^2}{(m-3)(m+3)}=\frac{m-3}{m+3}\): одна скобка из квадрата сократилась, вторая осталась.
После сокращения знаменатель может исчезнуть, но запрет никуда не девается: \(\frac{x^2-9}{x+3}=x-3\) лишь при \(x\ne-3\).
При \(x=-3\) исходное выражение не существует, хотя \(x-3\) спокойно даёт \(-6\). В задачах «найдите значение» это важно: подставлять можно только допустимое значение.
В ОГЭ такое задание звучит так: найдите значение выражения \(\frac{a^2-25}{a^2+5a}\) при \(a=-0{,}5\).
Подставлять сразу — долго и легко ошибиться. Сначала сокращаем: \(\frac{(a-5)(a+5)}{a(a+5)}=\frac{a-5}{a}\). Теперь подставляем: \(\frac{-5{,}5}{-0{,}5}=11\).
Задания идут по нарастающей: одночлены, общий множитель, формулы, противоположные скобки. Первые два — всем, последние два — тем, кто справился быстро.
Ответы для учителя: 1) \(\frac{2x}{3y^2}\); 2) \(\frac{4}{a+2}\); 3) \(\frac{b+3}{b}\); 4) \(\frac{x+5}{x-5}\); 5) \(-1\); 6) \(-\frac{m}{n}\).
Главная ошибка — сокращать слагаемые: в \(\frac{x+3}{x}\) буква \(x\) сверху не множитель, и сокращать её нельзя. Проверка простая — подставьте \(x=1\): получится 4, а не 3.
Ещё две: забыть про запрещённые значения и потерять минус у противоположных скобок.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.