Площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, ромба и трапеции: откуда каждая формула и где в ней высота.
Задачи на площадь чаще всего проваливаются на единицах, а не на формулах. Начинаем с них.
Ответы: \(1\) м² \(=10\,000\) см² (\(100\cdot100\), а не 100); \(1\) дм² \(=100\) см²; \(20\) см².
Площадь показывает, сколько единичных квадратов помещается в фигуре.
Два свойства дают все формулы урока: равные фигуры имеют равные площади, а если фигуру разрезать на части, площадь равна сумме площадей частей. Перекраивание — главный приём сегодня.
В прямоугольнике \(a\times b\) помещается \(a\) рядов по \(b\) квадратов: \(S=ab\). У квадрата стороны равны: \(S=a^2\).
Это отправная точка: остальные формулы получаются из неё перекраиванием.
Опустим высоту \(h\) на сторону \(a\) и отрежем треугольник. Приставим его с другой стороны — получится прямоугольник со сторонами \(a\) и \(h\).
Площадь не изменилась, значит \(S=ah\). Важно: умножаем сторону на высоту к этой стороне, а не на соседнюю сторону.
Жёлтый треугольник отрезали слева и приставили справа — получился прямоугольник a × h. Площадь не изменилась, поэтому S = a · h, где h — высота именно к стороне a.
Приложим к треугольнику такой же, повернув его. Получится параллелограмм с той же стороной \(a\) и высотой \(h\).
Треугольник — его половина: \(S=\frac12ah\). Половинка в формуле — самое забываемое место урока.
Приложили к треугольнику такой же — вышел параллелограмм с тем же основанием a и высотой h. Треугольник — его половина: S = ½ · a · h.
В прямоугольном треугольнике один катет — это высота, опущенная на другой. Поэтому \(S=\frac12ab\), где \(a\) и \(b\) — катеты.
Это половина прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\), что видно, если провести диагональ прямоугольника.
В тупоугольном треугольнике высота к одной из сторон лежит снаружи — она опускается на продолжение стороны.
Формула от этого не меняется: основание — сама сторона, высота — расстояние до её прямой. Это место стоит нарисовать на доске отдельно.
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами \(\frac{d_1}2\) и \(\frac{d_2}2\).
\(S=4\cdot\frac12\cdot\frac{d_1}{2}\cdot\frac{d_2}{2}=\frac12d_1d_2\). Формула работает для любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.
Проведём диагональ — трапеция распадётся на два треугольника с общей высотой \(h\) и основаниями \(a\) и \(b\).
\(S=\frac12ah+\frac12bh=\frac{a+b}{2}\cdot h\): полусумма оснований на высоту. Боковые стороны в формулу не входят.
Найдите площадь параллелограмма со сторонами 10 и 6 и углом \(30^\circ\).
Высота отсекает прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 и углом \(30^\circ\); катет против этого угла — половина гипотенузы, \(h=3\). \(S=10\cdot3=30\). Урок 7 класса пригодился напрямую.
Каждая формула урока по одному разу. Требуем записывать формулу перед подстановкой — так видно, забыта ли половинка.
Ответы для учителя: 1) 84; 2) 70; 3) 63; 4) 54; 5) 48; 6) 42.
Главная ошибка — брать вместо высоты боковую сторону. Высота всегда перпендикулярна основанию, и на чертеже её полезно отметить квадратиком прямого угла.
Две другие: половинка у треугольника и единицы площади.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.