Окружность: касательная и радиус, отрезки касательных, центральные и вписанные углы, вписанная и описанная окружности.
Проговариваем язык темы: без него не прочитать ни одно условие.
Радиус — отрезок от центра до окружности, хорда — отрезок между двумя точками окружности, диаметр — хорда через центр, дуга — часть окружности. Радиус 7. Самая длинная хорда — диаметр.
Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.
Главное свойство: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому почти в каждой задаче на касательную появляется прямоугольный треугольник — и работает теорема Пифагора.
Радиус в точку касания перпендикулярен касательной — поэтому треугольник OAT прямоугольный. Отрезки касательных из одной точки равны: AT₁ = AT₂.
Из внешней точки к окружности можно провести две касательные, и их отрезки до точек касания равны: \(AT_1=AT_2\).
Треугольники \(OAT_1\) и \(OAT_2\) равны по катету и гипотенузе. Длину касательной находим по Пифагору: \(AT=\sqrt{OA^2-r^2}\).
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его величина принимается за градусную меру дуги, на которую он опирается.
Вся окружность — \(360^\circ\), полуокружность — \(180^\circ\).
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.
Он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Это главная теорема урока, на ней держится почти вся планиметрия второй части ОГЭ.
Оба угла опираются на одну дугу AB. Центральный равен дуге — 100°, вписанный вдвое меньше — 50°.
Диаметр стягивает полуокружность, а это \(180^\circ\). Вписанный угол на неё равен \(90^\circ\).
Отсюда полезный вывод: если в окружность вписан прямоугольный треугольник, его гипотенуза — диаметр.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: каждый равен половине одного и того же центрального угла.
Этот факт позволяет «переносить» угол по окружности — так решаются задачи с вписанным четырёхугольником на следующем уроке.
Окружность, касающаяся всех сторон треугольника, называется вписанной. Её центр одинаково удалён от сторон и поэтому лежит на всех биссектрисах.
Для прямоугольного треугольника есть короткая формула: \(r=\frac{a+b-c}{2}\). Для треугольника 3, 4, 5 это \(r=1\).
Окружность, проходящая через все вершины треугольника, — описанная. Её центр одинаково удалён от вершин и лежит на серединных перпендикулярах к сторонам.
У прямоугольного треугольника центр — середина гипотенузы, \(R=\frac c2\): для 3, 4, 5 это \(2{,}5\).
Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности с центром \(O\), \(\angle ACB=35^\circ\). Найдите \(\angle AOB\).
Центральный угол на ту же дугу вдвое больше вписанного: \(70^\circ\). Ловушка в вариантах — ответ \(17{,}5^\circ\) для тех, кто перепутал, кто из них больше.
Все факты урока: центральный и вписанный, касательная, диаметр, две окружности треугольника. К третьему — обязательный прямой угол на чертеже.
Ответы для учителя: 1) 84°; 2) 65°; 3) 8; 4) 90°; 5) 5; 6) 2.
Первая ошибка стоит баллов в ОГЭ чаще других: забывают, что вписанный угол вдвое меньше. Вторая — на чертеже: касательная «под углом» к радиусу, и прямой треугольник не виден.
Третья лечится словами: вписанная — биссектрисы (стороны), описанная — серединные перпендикуляры (вершины).
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.