Обратная пропорциональность и её график — гипербола: четверти, оси, которых она не касается, и поиск k.
Устно заполняем таблицу — и замечаем закономерность: \(x\) растёт, \(y\) уменьшается, а произведение \(xy\) всё время равно 12.
Ответы: 12, 6, 4, 3, 2, 1.
Путь 120 км: чем больше скорость, тем меньше время, и во сколько раз увеличилась скорость — во столько же раз уменьшилось время.
Такую зависимость называют обратной пропорциональностью: \(t=\frac{120}{v}\). Так же связаны число рабочих и срок, цена и количество товара на фиксированную сумму.
Обратная пропорциональность задаётся формулой \(y=\frac kx\), \(k\ne0\). Число \(k\) называют коэффициентом.
При \(x=0\) функция не определена — делить на ноль нельзя. Полезно помнить и форму \(xy=k\): произведение координат любой точки графика одно и то же.
Отмечаем точки из таблицы и соединяем плавной линией. Получается кривая из двух отдельных ветвей — гипербола.
Ветви не соединяются: между ними запрещённое \(x=0\). Соединить их через начало координат — самая частая ошибка на доске.
При k > 0 ветви в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. Оси график не пересекает, а ветви между собой не соединяются: при x = 0 функции нет.
Знак \(y\) зависит от знаков \(k\) и \(x\). При \(k>0\) у \(x\) и \(y\) один знак — ветви в I и III четвертях.
При \(k<0\) знаки разные — ветви во II и IV. По этому признаку в ОГЭ сопоставляют графики и формулы.
\(x=0\) запрещён, поэтому на оси \(y\) точек нет. \(y=\frac kx\) не может быть нулём при \(k\ne0\), поэтому нет точек и на оси \(x\).
При удалении от начала ветви всё ближе подходят к осям, но никогда их не касаются.
Если точка \((a;b)\) на графике, то и \((-a;-b)\) на нём: гипербола симметрична относительно начала координат.
При \(k>0\) на каждой ветви функция убывает. Но сказать «убывает везде»
нельзя: \(-1<1\), а \(y(-1)=-6Что спросить у класса
Если известна одна точка графика, коэффициент находится сразу: \(k=xy\).
Для точки \((2;-5)\): \(k=-10\), формула \(y=-\frac{10}{x}\). Ветви — во II и IV четвертях, как и должно быть при отрицательном \(k\).
Подставляем абсциссу в формулу и сравниваем с ординатой.
\(y(-3)=\frac{-12}{-3}=4\) — совпало, точка лежит на графике. Точка \((3;4)\) уже не лежит: \(y(3)=-4\).
Координаты общих точек — решения уравнения \(\frac4x=x\).
\(x^2=4\), \(x=\pm2\), точки \((2;2)\) и \((-2;-2)\). На рисунке это видно: прямая \(y=x\) проходит через обе ветви.
В задании №11 ОГЭ даны три графика и три формулы. Гиперболу от прямой отличаем по форме, две гиперболы между собой — по четвертям.
\(y=\frac3x\) — ветви в I и III, \(y=-\frac3x\) — во II и IV, \(y=3x\) — прямая через начало координат.
Все свойства урока по одному. Шестое связывает гиперболу с неравенством: удобно смотреть по графику, где ветвь выше прямой \(y=2\).
Ответы для учителя: 1) II и IV; 2) \(k=8\); 3) да; 4) \(-6\);
5) \((3;3)\) и \((-3;-3)\); 6) \(0Что спросить у класса
Все три ошибки — на рисунке. Помогает проговорить перед построением: «\(x\ne0\), \(y\ne0\), знак \(k\) — такие четверти».
И ещё: гиперболу рисуют плавной, без изломов, и ветви её не выпрямляются вдоль осей в отрезки.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.