У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).
На чертеже: \(\angle A=95^\circ\), \(\angle C=85^\circ\) — вместе \(180^\circ\).
Соседние углы такого свойства не имеют.
Что спросить у класса
Какие углы называются противоположными?
Верно ли свойство для соседних углов?
3 из 12
Почему это так
\(\angle A=\dfrac12\) дуги \(BCD\), \(\angle C=\dfrac12\) дуги \(DAB\) дуги вместе — вся окружность, \(360^\circ\) \(\angle A+\angle C=\dfrac12\cdot360^\circ=180^\circ\)
Угол \(A\) — вписанный, опирается на дугу \(BCD\); угол \(C\) опирается на дугу
\(DAB\). Эти две дуги вместе составляют всю окружность.
Значит, \(\angle A+\angle C=\frac12\cdot360^\circ=180^\circ\). Доказательство
в три строки — его стоит записать в тетрадь.
Что спросить у класса
На какую дугу опирается угол C?
Почему дуги вместе дают 360°?
4 из 12
Обратное утверждение
если \(\angle A+\angle C=180^\circ\), около четырёхугольника можно описать окружность
Верно и обратное: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна
\(180^\circ\), около него можно описать окружность.
Это признак: проверили углы — знаем ответ, не рисуя окружность.
Что спросить у класса
Углы 70°, 100°, 110°, 80° по порядку — можно ли описать окружность?
Сколько пар углов достаточно проверить?
5 из 12
Какие фигуры можно вписать
прямоугольник, квадрат — да равнобедренная трапеция — да ромб (не квадрат), параллелограмм (не прямоугольник) — нет
У прямоугольника все углы \(90^\circ\) — противоположные дают \(180^\circ\).
У параллелограмма противоположные углы равны, поэтому вписать можно только
прямоугольник.
У равнобедренной трапеции углы при основании равны, а углы при боковой
стороне дают \(180^\circ\) — значит, противоположные тоже. Обычную трапецию
вписать нельзя.
Угол \(ABC\) состоит из \(\angle ABD\) и \(\angle DBC\). Угол \(DBC\) опирается
на ту же дугу \(DC\), что и \(\angle DAC\), — значит, он тоже \(35^\circ\).
Ответ: \(75^\circ\).
Что спросить у класса
На какую дугу опираются углы DBC и DAC?
Из каких двух углов складывается \(\angle ABC\)?
10 из 12
Самостоятельная работа
1) \(\angle B=112^\circ\) — найдите \(\angle D\) 2) \(\angle A:\angle B:\angle C=2:3:4\) — все углы 3) можно ли вписать параллелограмм с углом \(70^\circ\)? 4) вписанная трапеция, угол \(65^\circ\) — остальные 5) описанный: стороны 7, 10, 12 по порядку — четвёртая 6) вписанный, \(\angle ABD=50^\circ,\ \angle DBC=30^\circ\) — найдите \(\angle ADC\)
Свойство, отношение углов, признак, трапеция, описанный четырёхугольник
и перенос угла по окружности.
сложили соседние углы ✗ вписанный перепутали с описанным ✗ «любую трапецию можно вписать» ✗
Первая ошибка — брать не те углы: противоположные лежат через вершину,
а не рядом. Вторая — путать свойства: у вписанного суммы углов, у описанного —
суммы сторон.
Третья — забыть, что вписать можно только равнобедренную трапецию.
Что спросить у класса
Какой угол противоположен углу B?
Где суммы сторон, а где суммы углов?
12 из 12
После урока
Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.