Степень с нулевым и отрицательным показателем: откуда они берутся и почему 2⁻³ — не минус восемь.
Правила степеней из 7 класса сегодня распространятся на отрицательные показатели. Повторяем их на натуральных — там ошибаются реже.
Ответы: \(a^7\); \(a^6\); \(a^{10}\); \(8a^3\). Частая ошибка в третьем — сложить показатели и получить \(a^7\).
Запишем степени десятки подряд: \(10^3=1000\), \(10^2=100\), \(10^1=10\). Каждый раз, уменьшая показатель на 1, мы делим число на 10.
Продолжим ряд честно: \(10^0=1\), \(10^{-1}=0{,}1\), \(10^{-2}=0{,}01\). Отрицательный показатель не выдуман — он просто продолжает закономерность.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: \(a^0=1\).
Объяснение через деление: \(a^n:a^n=1\), а по правилу степеней \(a^n:a^n=a^{n-n}=a^0\). Значит, \(a^0=1\). При \(a=0\) пришлось бы делить ноль на ноль, поэтому \(0^0\) не определяют.
\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\): минус в показателе означает «перевернуть», а не «сделать отрицательным».
\(2^{-3}=\frac18\), \((-3)^{-2}=\frac19\). Для дроби удобно сразу перевернуть её и сменить знак показателя: \(\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94\).
Все правила степеней из 7 класса работают и для целых показателей. Отрицательные числа в показателе складываются и вычитаются по обычным правилам.
\(2^{-5}\cdot2^7=2^{-5+7}=2^2=4\); \(5^{-2}:5^{-4}=5^{-2-(-4)}=5^2=25\).
Выражение сначала собираем в одну степень, и только потом считаем число.
\(\frac{3^{-4}\cdot3^{7}}{3^{2}}=3^{-4+7-2}=3\). И \((2^{-3})^{-2}=2^{6}=64\): показатели перемножаются, минус на минус даёт плюс.
Каждую букву обрабатываем отдельно: для \(a\) показатели \(-3-2=-5\), для \(b\) — \(2-(-1)=3\).
\(\frac{a^{-3}b^{2}}{a^{2}b^{-1}}=a^{-5}b^{3}=\frac{b^3}{a^5}\). В ответе обычно просят обойтись без отрицательных показателей — переносим \(a^{-5}\) в знаменатель.
Очень большие и очень маленькие числа записывают в стандартном виде: \(a\cdot10^n\), где \(1\le a<10\).
\(0{,}00052=5{,}2\cdot10^{-4}\): запятую передвинули на 4 знака вправо, показатель \(-4\). \(38\,000=3{,}8\cdot10^4\): на 4 знака влево, показатель \(4\). Так пишут размер вируса и массу Земли.
Числа отдельно, степени десятки отдельно: \((3\cdot10^{-2})(4\cdot10^{5})=12\cdot10^{3}\). Число 12 больше 10, поэтому переписываем: \(1{,}2\cdot10^{4}\).
При делении так же: \(\frac{6\cdot10^{-3}}{2\cdot10^{-5}}=3\cdot10^{2}=300\).
Найдите значение выражения \(\frac{(2\cdot10^{-2})^{2}}{8\cdot10^{-3}}\).
Возводим в квадрат и число, и степень: \(4\cdot10^{-4}\). Делим: \(\frac48=0{,}5\), \(10^{-4}:10^{-3}=10^{-1}\). Ответ \(0{,}05\). В бланк ОГЭ записывают десятичную дробь.
Вычисления, буквы и стандартный вид — всё, что было на уроке. В четвёртом просим записать ответ без отрицательных показателей.
Ответы для учителя: 1) \(\frac{1}{16}\); 2) \(27\); 3) \(36\); 4) \(xy^5\) (\(x^{-4}y^6:x^{-5}y=x^{1}y^{5}\)); 5) \(3{,}07\cdot10^{-4}\); 6) \(2\cdot10^{5}\) (сначала получится \(20\cdot10^4\)).
Самая частая ошибка — думать, что отрицательный показатель делает число отрицательным. Он делает дробь.
Ещё две: нулевая степень «равна нулю» и лишний ноль после запятой. Проверка для последней: в \(10^{-3}\) единица стоит на третьем месте после запятой.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.