Линейные неравенства

Разминка: верно или нет

\(-3<-1\) ?
\(-2\cdot5>-2\cdot4\) ?
\(0{,}5\ge\dfrac12\) ?

Три числовых неравенства. Второе — ключ к уроку: умножили обе части неравенства \(5>4\) на \(-2\) и получили неверное \(-10>-8\).

Ответы: верно; неверно (\(-10<-8\)); верно — знак «больше или равно» допускает равенство.

Что спросить у класса

Что случилось со знаком после умножения на −2?
Верно ли 3 ≤ 3?

1 из 13

Что значит решить неравенство

\(2x>6\ \Rightarrow\ x>3\)
решение — не одно число, а промежуток

Решить неравенство — найти все значения \(x\), при которых оно верно. В отличие от уравнения, ответ — обычно не одно число, а целый промежуток.

\(2x>6\) верно при \(x=4\), при \(x=3{,}1\), при \(x=100\) — при любом \(x>3\).

Что спросить у класса

Входит ли 3 в решение неравенства \(2x>6\)?
Сколько решений у неравенства?

2 из 13

Решаем почти как уравнение

\(3x-5<7\)
\(3x<12\)
\(x<4\)

Слагаемые переносим из части в часть с противоположным знаком, обе части делим на положительное число — знак неравенства не меняется.

\(3x-5<7\) → \(3x<12\) → \(x<4\).

Что спросить у класса

Какой знак у −5 после переноса?
Изменился ли знак неравенства при делении на 3?

3 из 13

Деление на отрицательное число

\(-2x\le8\)
\(x\ge-4\) — знак перевернулся
проверка: \(x=0\): \(0\le8\) ✓

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Почему: \(2<3\), а \(-2>-3\). \(-2x\le8\) → \(x\ge-4\). Проверяем любым числом из ответа: \(x=0\) даёт \(0\le8\) — верно.

Что спросить у класса

Какой знак получится из \(-3x>9\)?
Как числом проверить, что знак перевернули правильно?

4 из 13

Запись ответа промежутком

\(x<4\ \Rightarrow\ (-\infty;\,4)\)
\(x\ge-4\ \Rightarrow\ [-4;\,+\infty)\)
у бесконечности скобка всегда круглая

Ответ записывают промежутком. Круглая скобка — число не входит (строгое неравенство), квадратная — входит (нестрогое).

\(x<4\) — это \((-\infty;4)\), \(x\ge-4\) — \([-4;+\infty)\). У бесконечности скобка всегда круглая: бесконечность — не число, её нельзя «включить».

Что спросить у класса

Как записать \(x\le7\) промежутком?
Почему у ∞ не бывает квадратной скобки?

5 из 13

Изображение на прямой

строгое (\(<,\ >\)) — выколотая точка ○
нестрогое (\(\le,\ \ge\)) — закрашенная ●
штриховка — в сторону решений

На координатной прямой отмечаем граничное число. Строгий знак — пустой кружок, нестрогий — закрашенный. Штрихуем ту сторону, где лежат решения.

Рисунок особенно выручает в системах: пересечение двух штриховок видно сразу.

Что спросить у класса

Какой кружок для \(x\ge2\)?
В какую сторону штрихуем при \(x<-1\)?

6 из 13

Неравенство со скобками

\(2(x-3)-5\ge3x\)
\(2x-11\ge3x\)
\(-x\ge11\ \Rightarrow\ x\le-11\)

Раскрываем скобки, приводим подобные, переносим.

\(2x-6-5\ge3x\) → \(2x-3x\ge11\) → \(-x\ge11\). Делим на \(-1\) и переворачиваем знак: \(x\le-11\), то есть \((-\infty;-11]\).

Что спросить у класса

На что делили в последнем шаге?
Входит ли −11 в ответ?

7 из 13

Неравенство с дробями

\(\dfrac{x-1}{3}-\dfrac{x}{2}>1\quad|\cdot6\)
\(2(x-1)-3x>6\)
\(-x>8\ \Rightarrow\ x<-8\)

Умножаем обе части на общий знаменатель — он положительный, знак сохраняется. Числители берём в скобки.

\(2(x-1)-3x>6\) → \(-x-2>6\) → \(-x>8\) → \(x<-8\).

Что спросить у класса

Почему умножение на 6 не меняет знак?
Зачем числитель x − 1 взяли в скобки?

8 из 13

Система неравенств

\(2x-1>3\) и \(x+4\le10\)
\(x>2\) и \(x\le6\)
ответ: \((2;\,6]\)

Решить систему — найти \(x\), удовлетворяющие обоим неравенствам сразу. Решаем каждое и берём пересечение.

\(x>2\) и \(x\le6\): на прямой перекрываются штриховки от 2 до 6, ответ \((2;6]\).

Что спросить у класса

Входит ли 6 в ответ системы?
Что будет, если решения не перекрываются?

9 из 13

Нет решений или любое число

\(2(x+1)>2x+5\ \Rightarrow\ 2>5\) — решений нет
\(3x+1<3x+4\ \Rightarrow\ 1<4\) — \(x\) любое

Иногда \(x\) исчезает. Тогда смотрим на оставшееся числовое неравенство.

Неверное (\(2>5\)) — решений нет. Верное (\(1<4\)) — подходит любое \(x\), ответ \((-\infty;+\infty)\).

Что спросить у класса

Сколько решений у 5x − 1 > 5x?
Как записать «любое число» промежутком?

10 из 13

Задача как в ОГЭ

\(4x-9\ge6x+1\)
\(-2x\ge10\)
\(x\le-5\ \Rightarrow\ (-\infty;\,-5]\)

Укажите решение неравенства \(4x-9\ge6x+1\) — и выберите верный рисунок из четырёх.

\(4x-6x\ge1+9\) → \(-2x\ge10\) → \(x\le-5\). На прямой: закрашенная точка \(-5\), штриховка влево. В ОГЭ варианты различаются как раз кружком и направлением.

Что спросить у класса

Какой кружок у точки −5?
Куда направлена штриховка?

11 из 13

Самостоятельная работа

решите:
1) \(5x-3>12\) 2) \(-4x\le20\) 3) \(3(x+2)4) \(\dfrac x4-\dfrac{x-2}{3}\ge1\) 5) \(3x-1>5\) и \(2x+1\le9\)
6) \(2(x-1)\ge2x+3\)

Ответ в каждом задании просим записать промежутком и изобразить на прямой — ошибки в скобках и кружках видны сразу.

Ответы для учителя: 1) \((3;+\infty)\); 2) \([-5;+\infty)\); 3) \((-\infty;-5)\); 4) \((-\infty;-4]\); 5) \((2;4]\); 6) решений нет — остаётся \(-2\ge3\).

Что спросить у класса

В каком задании меняли знак неравенства?
Что осталось от x в шестом?

12 из 13

Частые ошибки

\(-2x>4\ \Rightarrow\ x>-2\) ✗ — не перевернули знак
\(x\ge3\ \Rightarrow\ [3;\,+\infty]\) ✗ — квадратная скобка у \(\infty\)
\(x<5\) — закрашенная точка ✗

Главная ошибка — не перевернуть знак при делении на отрицательное число. Лечится проверкой: взять число из ответа и подставить в исходное неравенство.

Ещё две касаются записи: квадратная скобка у бесконечности и перепутанный кружок на рисунке.

Что спросить у класса

Какое число удобно взять для проверки ответа \(x<-2\)?
Когда точка на прямой закрашена?

13 из 13

Линейные неравенства

Разминка: верно или нет

Что значит решить неравенство

Решаем почти как уравнение

Деление на отрицательное число

Запись ответа промежутком

Изображение на прямой

Неравенство со скобками

Неравенство с дробями

Система неравенств

Нет решений или любое число

Задача как в ОГЭ

Самостоятельная работа

Частые ошибки

Выдайте эту тему классу домашним заданием