Средняя линия треугольника и трапеции: откуда «половина» и «полусумма» и как это экономит вычисления.
Разминка: подобие одним словом
\(MN\parallel AC\) и \(BM=MA\) — чему равно \(k=\dfrac{BM}{BA}\)? при \(k=\dfrac12\) во сколько раз \(MN\) короче \(AC\)?
Средняя линия — частный случай прошлого урока: прямая, параллельная стороне,
и коэффициент подобия ровно одна вторая.
Ответы: \(k=\frac12\), потому что \(BM\) — половина \(BA\); \(MN\) короче \(AC\)
в 2 раза.
Что спросить у класса
Почему BM : BA, а не BM : MA?
Во сколько раз меньше площадь треугольника BMN?
1 из 12
Средняя линия треугольника
\(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(BC\) \(MN\) — средняя линия
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Не путать с медианой: медиана соединяет середину стороны с противоположной
вершиной. У треугольника три медианы и три средние линии.
Показать классу
Слева M и N — середины сторон: MN ∥ AC и MN = AC / 2.
Справа средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон:
она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Что спросить у класса
Чем средняя линия отличается от медианы?
Сколько средних линий у треугольника?
2 из 12
Параллельна и равна половине
\(MN\parallel AC\) \(MN=\dfrac{AC}{2}\)
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.
Доказательство: треугольники \(BMN\) и \(BAC\) подобны по двум сторонам и углу
между ними — \(\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac12\), угол \(B\) общий. Отсюда
\(MN=\frac12AC\), а равенство соответственных углов даёт \(MN\parallel AC\).
Что спросить у класса
Какой признак подобия использован?
Откуда следует параллельность?
3 из 12
Четыре равных треугольника
три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника площадь каждого — четверть
Проведём все три средние линии. Получатся четыре треугольника, у каждого
стороны — половины сторон исходного. Они равны по трём сторонам.
Значит, площадь каждого — четверть площади исходного треугольника. Это то же
\(k^2=\frac14\) из урока о подобии.
Что спросить у класса
Площадь треугольника 36. Какова площадь маленького?
Почему центральный треугольник тоже равен остальным?
4 из 12
Периметр из средних линий
стороны 8, 10, 12 → средние линии 4, 5, 6 периметр 15 — половина от 30
Треугольник, составленный из средних линий, имеет периметр вдвое меньше
исходного.
Стороны 8, 10, 12 дают средние линии 4, 5, 6 и периметр 15 при исходном 30.
Что спросить у класса
Периметр 50. Каков периметр треугольника из средних линий?
Подобен ли он исходному?
5 из 12
Середины сторон четырёхугольника
середины сторон любого четырёхугольника образуют параллелограмм
Соединим середины сторон произвольного четырёхугольника. Каждая из двух
противоположных сторон нового четырёхугольника — средняя линия треугольника
с общей диагональю.
Обе параллельны этой диагонали и равны её половине — значит, получился
параллелограмм. Красивый факт, и доказывается одной строкой.
Что спросить у класса
Средней линией какого треугольника служит сторона нового четырёхугольника?
Какой признак параллелограмма сработал?
6 из 12
Средняя линия трапеции
соединяет середины боковых сторон параллельна основаниям \(m=\dfrac{a+b}{2}\)
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна
основаниям и равна их полусумме.
Основания 6 и 14 — средняя линия 10. Удобно понимать её как «среднее
арифметическое оснований».
Что спросить у класса
Какие стороны соединяет средняя линия трапеции?
Основания 9 и 15 — средняя линия?
7 из 12
Найти основание
\(m=11\), одно основание 7 \(\dfrac{7+b}{2}=11\ \Rightarrow\ b=15\)
Обратная задача: известны средняя линия и одно основание. Удваиваем среднюю
линию — получаем сумму оснований, вычитаем известное.
1) стороны 6, 8, 10 — средние линии? 2) средняя линия 7,5 — сторона? 3) трапеция: основания 5 и 13 — средняя линия 4) \(m=12\), основание 9 — другое? 5) периметр треугольника 42 — периметр из средних линий 6) трапеция: \(m=8,\ h=5\) — площадь
Треугольник, трапеция, обратная задача и площадь. К первому и пятому —
общий вопрос: какой получился треугольник?
средняя линия трапеции = полуразность оснований ✗ соединили середину стороны с вершиной ✗ — это медиана «параллельна боковой стороне» ✗
Путают полусумму с полуразностью, среднюю линию с медианой и направление
параллельности.
Помогает простая проверка: средняя линия трапеции всегда длиннее меньшего
основания и короче большего.
Что спросить у класса
Между какими числами лежит средняя линия трапеции с основаниями 4 и 10?
Чему параллельна средняя линия треугольника?
12 из 12
После урока
Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.