Три графика на одних осях: парабола, ветвь корня и кубическая парабола — их отличия и как ими пользоваться.
Таблицы значений — основа всех трёх графиков. Обратите внимание класса, что квадрат «съедает» минус, а куб — нет.
Ответы: \(x^2\): 4, 1, 0, 1, 4; \(x^3\): \(-8\), \(-1\), 0, 1, 8; корни: 0, 1, 2, 3.
На одних осях три графика, и все проходят через точки \((0;0)\) и \((1;1)\). Дальше они расходятся — в этом и суть урока.
Сначала разберём каждый, потом сравним.
Все три проходят через (0; 0) и (1; 1). Между 0 и 1 выше всех корень, ниже всех куб; правее единицы — наоборот. Корень есть только при x ≥ 0, куб при отрицательных x уходит вниз.
\(y=x^2\): определена при всех \(x\), принимает только неотрицательные значения. Наименьшее значение 0 — в вершине \((0;0)\).
Противоположные \(x\) дают одно \(y\): \((-3)^2=3^2=9\). Поэтому график симметричен относительно оси \(y\).
Левее вершины функция убывает, правее — возрастает.
Вершину рисуют плавно: около нуля \(x^2\) очень мал (\(0{,}1^2=0{,}01\)), и график почти прилегает к оси. Острый «уголок» — это уже график модуля, а не параболы.
\(y=\sqrt x\) определена только при \(x\ge0\) и не бывает отрицательной. Функция возрастает, но всё медленнее: \(\sqrt{100}=10\).
Если \(y=\sqrt x\), то \(x=y^2\) — это правая половина параболы, повёрнутая на бок. Так удобно запомнить форму.
\(y=x^3\) определена при всех \(x\) и принимает все значения: куб отрицательного числа отрицателен.
Функция возрастает везде. График симметричен относительно начала координат: \((-2)^3=-8\), \(2^3=8\). Около нуля он почти горизонтален.
На отрезке от 0 до 1 порядок графиков обратный привычному: выше всех корень, ниже всех куб.
Правее единицы всё наоборот. Проверка числами: при \(x=4\) \(\sqrt4=2<16<64\). Это объясняет, почему \(0{,}5^3\) меньше \(0{,}5^2\).
Корни уравнения \(x^2=x+2\) — абсциссы общих точек параболы \(y=x^2\) и прямой \(y=x+2\).
По рисунку видны \(x=-1\) и \(x=2\); проверка: \(1=1\), \(4=4\). Графический способ хорош, чтобы узнать число корней, но точные корни проверяют подстановкой.
Подставляем абсциссу и сравниваем с ординатой, но сначала проверяем, определена ли функция в этой точке.
Для \(y=\sqrt x\) точка с отрицательной абсциссой лежать на графике не может вообще, даже считать ничего не нужно.
Короткие задачи ОГЭ на эти функции решаются в одно действие — если помнить форму графика.
У \(\sqrt x=7\) один корень 49; у \(x^3=-27\) один корень \(-3\); у \(x^2=5\) — два корня \(\pm\sqrt5\), потому что прямая \(y=5\) пересекает параболу дважды.
Вычисления, точки, уравнения и одно задание на рисунок. Шестое решают по графику: парабола и ветвь корня пересекаются в двух точках.
Ответы для учителя: 1) 2,25; 2) да; 3) 1,44; 4) \(0{,}6^2=0{,}36>0{,}216=0{,}6^3\); 5) \(-3\); 6) два решения: \(x=0\) и \(x=1\).
Все три ошибки — от путаницы форм. Перед построением полезно спросить себя: при каких \(x\) функция существует и что происходит с отрицательными \(x\).
Кубическая парабола при отрицательных \(x\) уходит вниз, а не вверх — в этом её главное отличие от обычной.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.