Теорема Пифагора: доказательство через площади, поиск гипотенузы и катета, обратная теорема и практические задачи.
Весь урок — это квадраты и корни. Разминка ровно на то, что будет на каждом шаге.
Ответы: \(25+144=169\); \(13\); \(36+64=100\); \(10\). Заметьте: получились тройки 5, 12, 13 и 6, 8, 10 — к ним вернёмся.
Теорема работает только для прямоугольного треугольника. Стороны при прямом угле — катеты, против прямого угла — гипотенуза.
Гипотенуза всегда длиннее каждого катета. Это полезная проверка ответа: получилась гипотенуза короче катета — где-то ошибка.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \(a^2+b^2=c^2\).
Буквально: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов на катетах. Для треугольника 3, 4, 5 это \(9+16=25\) — видно на чертеже.
Квадрат на гипотенузе по площади равен двум квадратам на катетах вместе: 9 + 16 = 25. Это и есть теорема Пифагора: a² + b² = c².
Возьмём два одинаковых квадрата со стороной \(a+b\). В первом разместим четыре треугольника так, что внутри останется квадрат со стороной \(c\).
Во втором те же четыре треугольника сложим в два прямоугольника — останутся квадраты \(a^2\) и \(b^2\). Большие квадраты равны, треугольники одни и те же, значит, \(c^2=a^2+b^2\).
Квадраты одинаковые (сторона a + b), серые треугольники одни и те же. Значит, оставшиеся части равны по площади: c² = a² + b².
Складываем квадраты катетов и извлекаем корень: \(c=\sqrt{a^2+b^2}\).
\(c=\sqrt{36+64}=10\). Если корень не извлекается нацело, ответ оставляют с корнем: катеты 1 и 2 дают \(c=\sqrt5\).
Если неизвестен катет, из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета: \(b=\sqrt{c^2-a^2}\).
\(b=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\). Сложение вместо вычитания здесь — самая частая ошибка урока: катет получается длиннее гипотенузы.
Тройки целых чисел, для которых выполняется теорема, стоит узнавать в лицо: они экономят вычисления.
Кратные тройки тоже работают: 6, 8, 10 — это 3, 4, 5, умноженные на 2. Катеты 15 и 20 — сразу гипотенуза 25.
Верно и обратное: если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный, и прямой угол лежит против большей стороны.
Так проверяют, прямоугольный ли треугольник, не измеряя углы. Древние землемеры строили прямой угол верёвкой с узлами 3, 4, 5.
Теорема Пифагора прячется в любой фигуре, где есть прямой угол.
Диагональ прямоугольника — гипотенуза: для \(5\times12\) это 13. Диагональ квадрата со стороной \(a\) — \(a\sqrt2\). Высота равнобедренного треугольника с боковой стороной 10 и основанием 12 делит основание пополам: \(h=\sqrt{100-36}=8\).
Пожарную лестницу длиной 17 м приставили к окну на высоте 15 м. На каком расстоянии от стены стоит нижний конец лестницы?
Лестница — гипотенуза, высота окна — катет: \(x=\sqrt{289-225}=8\) м. Такие задачи — №17 ОГЭ, и в них главное — нарисовать прямой угол у стены.
Гипотенуза, катет, квадрат, обратная теорема и две фигуры, где прямой угол надо увидеть самому. К пятому и шестому — обязательный чертёж.
Ответы для учителя: 1) 15; 2) 24; 3) \(6\sqrt2\); 4) нет, \(100\ne121\); 5) 15; 6) 13 — половинки диагоналей 5 и 12.
Складывают стороны, а не квадраты; при поиске катета складывают вместо вычитания; применяют теорему там, где прямого угла нет.
Проверка, которая ловит первые две: гипотенуза должна быть длиннее каждого катета и короче их суммы.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.