Квадратные уравнения: неполные без формулы, полные по дискриминанту, и почему нельзя делить на x.
Дискриминант — это устный счёт со знаками, и ошибаются в нём именно в знаках. Разминка как раз на это.
Ответы: \(49-24=25\); \(25+24=49\) (минус на минус даёт плюс); \(7\); \(11\).
Квадратное уравнение — уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne0\).
Если \(b\) или \(c\) равны нулю, уравнение неполное. Неполные решаются быстрее без формулы, и их надо узнавать с первого взгляда.
Выносим \(x\) за скобку: \(x(x-7)=0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, — отсюда два корня: 0 и 7.
Делить обе части на \(x\) нельзя: так теряется корень \(x=0\).
Переносим число и выражаем \(x^2\): \(x^2=16\), откуда \(x=\pm4\). Не забываем про отрицательный корень.
Если получилось \(x^2=-9\), корней нет: квадрат не бывает отрицательным.
Полное уравнение решаем по дискриминанту: \(D=b^2-4ac\), \(x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).
\(2x^2+3x-2=0\): \(D=9-4\cdot2\cdot(-2)=25\), \(x=\frac{-3\pm5}{4}\), корни \(\frac12\) и \(-2\). Коэффициенты выписываем со знаками — это половина успеха.
При \(D=0\) формула даёт один корень: \(x=-\frac{b}{2a}\). Для \(x^2-10x+25=0\) это \(x=5\) — левая часть и есть \((x-5)^2\).
При \(D<0\) пишем «корней нет» и останавливаемся: корень из отрицательного числа не извлекают.
Если \(b\) чётное, удобнее «четверть дискриминанта»: \(D_1=k^2-ac\), где \(k=\frac b2\), и \(x=\frac{-k\pm\sqrt{D_1}}{a}\).
\(x^2-8x+12=0\): \(k=-4\), \(D_1=16-12=4\), \(x=4\pm2\). Числа меньше — ошибок меньше.
Для приведённого уравнения (\(a=1\)) корни часто подбираются устно: ищем два числа, сумма которых \(-p\), а произведение \(q\).
\(x^2-7x+12=0\): сумма 7, произведение 12 — это 3 и 4. Не подбирается за полминуты — не мучаемся, считаем дискриминант.
Формулу применяют только к уравнению вида \(ax^2+bx+c=0\). Поэтому сначала раскрываем скобки и переносим всё в левую часть.
\((x-2)^2=3x-8\) превращается в \(x^2-7x+12=0\) с корнями 3 и 4. Проверка: при \(x=3\) слева 1, справа \(9-8=1\).
Решите уравнение \(x^2+4x=5\). Если корней несколько, запишите больший.
Переносим: \(x^2+4x-5=0\), \(D=16+20=36\), \(x=\frac{-4\pm6}{2}\), корни 1 и \(-5\). В ответ — 1. Внимательно читаем, какой корень просят: больший, меньший или их сумму.
Подставить корни в исходное уравнение — полминуты, а ловит почти все ошибки в знаках.
Особенно важно это там, где уравнение переписывали: перенос через знак «равно» — самое опасное место.
Два неполных, одно подбором, одно по формуле, одно без корней и одно, которое сначала надо привести к стандартному виду.
Ответы для учителя: 1) \(0\); \(11\); 2) \(\pm\frac52\); 3) \(5\); \(-3\); 4) \(\frac13\); \(-2\) (\(D=49\)); 5) корней нет (\(D_1=-1\)); 6) \(\pm2\) — после раскрытия скобок остаётся \(x^2=4\).
Делят на \(x\) и теряют ноль. Забывают, что \(-b\) при отрицательном \(b\) — положительное число. Извлекают корень из \(x^2=16\) и пишут только 4.
И ещё одна: применяют формулу, не перенеся всё в одну сторону, — тогда \(c\) берут не тот.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.