Квадратные неравенства: корни, схематичная парабола и выбор промежутков — без заучивания таблиц.
Квадратное неравенство начинается с корней трёхчлена. Три примера на три ситуации: два корня, неполный трёхчлен, корней нет.
Ответы: \(-2\) и \(3\); \(\pm3\); корней нет — \(x^2+4>0\) при любом \(x\).
Квадратное неравенство — неравенство с квадратным трёхчленом в одной части и нулём в другой.
Линейный способ «перенести и разделить» здесь не работает: \(x^2\) не разделишь. Нужна другая идея — посмотреть на график.
График трёхчлена — парабола. Корни — это точки, где она пересекает ось \(x\). При \(a>0\) ветви направлены вверх.
Решить \(x^2-x-6>0\) — значит найти, где парабола выше оси. По рисунку видно: левее \(-2\) и правее \(3\).
Выше оси — там, где трёхчлен больше нуля: левее −2 и правее 3. Ниже оси — между корнями. Решение неравенства читается прямо с рисунка.
Рисунок не обязан быть точным: важны только корни на оси и направление ветвей. Вершина и масштаб не нужны.
Если знак строгий, корни в ответ не входят (выколотые точки), если нестрогий — входят (закрашенные).
Выше оси — две части: левее меньшего корня и правее большего. Их объединяют знаком \(\cup\).
Ответ: \((-\infty;-2)\cup(3;+\infty)\). Проверка числом: \(x=10\) даёт \(100-10-6=84>0\).
Ниже оси и на ней — промежуток между корнями. Знак нестрогий, поэтому скобки квадратные.
Ответ: \([-2;3]\). Проверка: \(x=0\) даёт \(-6\le0\) — верно.
Проще всего сделать коэффициент при \(x^2\) положительным: умножить неравенство на \(-1\) и перевернуть знак.
\(x^2-4x-5\le0\), корни \(-1\) и 5, ответ \([-1;5]\). Можно решать и с ветвями вниз, но тогда картинка «переворачивается» — лишний повод ошибиться.
\(x^2-6x+9=(x-3)^2\): парабола касается оси в точке 3 и в остальных точках выше неё.
Поэтому «\(>0\)» — все числа, кроме 3; «\(\le0\)» — только 3; «\(<0\)» — ничего.
Если корней нет и \(a>0\), парабола целиком выше оси.
Значит, неравенство «\(>0\)» верно при любом \(x\), а «\(<0\)» решений не имеет. Ответы записываются одной строкой, без рисунка промежутков.
Неполные решаются тем же способом, но корни находятся быстрее.
\(x^2<16\): корни \(\pm4\), между ними — \((-4;4)\). Запись «\(x<\pm4\)» бессмысленна, она не описывает ни одно множество. \(x^2-5x\ge0\): корни 0 и 5, снаружи.
Укажите решение неравенства \(x^2-36>0\) и выберите верный рисунок.
Корни \(\pm6\), нужны части снаружи: \((-\infty;-6)\cup(6;+\infty)\). Среди вариантов обязательно будет «между корнями» — ловушка для тех, кто решал как линейное.
К каждому заданию — схематичная парабола. Без рисунка задание не принимаем: именно рисунок снимает путаницу «между или снаружи».
Ответы для учителя: 1) \((1;4)\); 2) \((-\infty;-4]\cup[2;+\infty)\); 3) \((-2;3)\); 4) \([-5;5]\); 5) \((-\infty;-3)\cup(0;+\infty)\); 6) \(x=2\).
Три ошибки из одного корня: неравенство решают «как уравнение» и не рисуют параболу. Рисунок за десять секунд снимает все три.
Отдельно стоит повторять: знак \(\cup\) означает «или», и ответ \((-\infty;-2)\cup(3;+\infty)\) — это два куска, а не один.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.