Квадратный трёхчлен: корни, дискриминант и разложение на множители — с коэффициентом a, который так легко потерять.
Сегодня будем делать обратное — собирать трёхчлен в скобки. Сначала убедимся, что в прямую сторону всё уверенно.
Ответы: \(x^2-3x-4\); \(2x^2+7x-15\); \(x^2-14x+49\). Во втором стоит проговорить, откуда \(+7x\): \(10x-3x\).
Квадратный трёхчлен — многочлен \(ax^2+bx+c\), где \(a\ne0\). Числа \(a\), \(b\), \(c\) называют коэффициентами.
Знак — часть коэффициента: в \(x^2-5x+6\) коэффициент \(b=-5\), а не 5. Если \(a=0\), трёхчлен перестаёт быть квадратным.
Корень трёхчлена — значение \(x\), при котором он обращается в ноль.
Для \(x^2-5x+6\): при \(x=2\) получаем \(4-10+6=0\), при \(x=3\) — \(9-15+6=0\). Значит, корни 2 и 3. Проверить корень всегда можно подстановкой.
Сколько корней у трёхчлена, говорит дискриминант \(D=b^2-4ac\). Если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
Корни находят по формуле \(x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\). Для \(x^2-5x+6\): \(D=25-24=1\), \(x=\frac{5\pm1}{2}\), то есть 3 и 2.
Если корни \(x_1\) и \(x_2\) найдены, трёхчлен раскладывается так: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Для \(x^2-5x+6\) корни 2 и 3, \(a=1\): \((x-2)(x-3)\). Проверка раскрытием скобок: \(x^2-3x-2x+6\) — сходится.
Когда \(a\ne1\), множитель \(a\) обязательно стоит впереди.
\(2x^2-7x+3\): \(D=49-24=25\), \(x=\frac{7\pm5}{4}\), корни 3 и \(\frac12\). Разложение: \(2(x-3)\left(x-\frac12\right)\). Двойку удобно внести во вторую скобку: \((x-3)(2x-1)\).
При \(D=0\) оба корня совпадают, и трёхчлен — полный квадрат: \(a(x-x_1)^2\).
\(x^2-6x+9=(x-3)^2\), \(4x^2+4x+1=(2x+1)^2\): у второго \(D=16-16=0\), корень \(-\frac12\). Узнавать полные квадраты стоит и без дискриминанта.
При \(D<0\) трёхчлен не раскладывается на множители первой степени. Это не ошибка в вычислениях, а свойство выражения.
У \(x^2+x+1\) коэффициент \(a>0\) и корней нет, поэтому трёхчлен положителен при любом \(x\). Это пригодится в неравенствах.
Трёхчлен можно переписать через квадрат скобки: берём половину коэффициента при \(x\) и дополняем до полного квадрата.
\(x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=(x-3)^2+2\). Квадрат не меньше нуля, значит, наименьшее значение трёхчлена 2, и достигается оно при \(x=3\).
Разложение трёхчлена возвращает нас к первому уроку: теперь сокращаются и такие дроби.
\(\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-3}{x+2}\) при \(x\ne\pm2\).
Для трёхчлена с \(a=1\) сумма корней равна \(-p\), произведение — \(q\). Это быстрая проверка найденных корней.
У \(x^2-5x+6\): \(2+3=5\) и \(2\cdot3=6\) — корни найдены верно. Если \(a\ne1\), формулы такие: \(x_1+x_2=-\frac ba\), \(x_1x_2=\frac ca\).
Первые два — подбором по Виета, третье — с коэффициентом \(a\), четвёртое — полный квадрат, пятое — проверка, умеет ли класс сказать «не раскладывается», шестое связывает урок с сокращением дробей.
Ответы для учителя: 1) \((x-2)(x-7)\); 2) \((x-3)(x+5)\); 3) \((x-3)(3x-1)\); 4) \((3x-2)^2\); 5) не раскладывается, \(D=-12\); 6) \(\frac{x+3}{x+4}\).
Три ошибки: знаки в скобках противоположны корням, а не равны им; старший коэффициент теряется при разложении; в дискриминанте минус превращается в плюс.
От всех трёх спасает одно действие — раскрыть скобки обратно и сравнить с исходным трёхчленом.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.