Дробно-рациональные уравнения

Разминка: при каких x нельзя

при каких \(x\) не существует:
\(\dfrac{1}{x-4}\) \(\dfrac{5}{x^2-x}\) \(\dfrac{3}{x^2+1}\)

Главная опасность сегодняшних уравнений — корень, при котором знаменатель обращается в ноль. Поэтому начинаем с поиска запрещённых значений.

Ответы: \(x\ne4\); \(x\ne0\) и \(x\ne1\), так как \(x^2-x=x(x-1)\); у третьей дроби запретов нет — \(x^2+1\) никогда не равно нулю.

Что спросить у класса

Почему у \(\dfrac{3}{x^2+1}\) нет запрещённых значений?
Как быстро найти нули знаменателя \(x^2-x\)?

1 из 12

Что такое дробное уравнение

переменная стоит в знаменателе
\(\dfrac{3}{x-1}=\dfrac2x\) \(\dfrac6x-\dfrac{6}{x+1}=1\)

Дробно-рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная есть в знаменателе: \(\frac{3}{x-1}=\frac2x\), \(\frac6x-\frac{6}{x+1}=1\).

Уравнение \(\frac{x}{3}=5\) дробным не считается: знаменатель — число, и запретов оно не создаёт.

Что спросить у класса

Является ли \(\dfrac x7+1=x\) дробно-рациональным?
Чем опасна переменная в знаменателе?

2 из 12

План решения

1) запреты: знаменатели \(\ne0\)
2) умножить на общий знаменатель
3) решить целое уравнение
4) выбросить запрещённые корни

Решение всегда идёт в четыре шага. Запреты выписываем первыми, пока знаменатели перед глазами, — потом их уже не будет.

Умножение на общий знаменатель превращает дробное уравнение в целое, но может добавить лишний корень. Четвёртый шаг его и отсекает.

Что спросить у класса

Почему запреты выписывают в самом начале?
Откуда берётся лишний корень?

3 из 12

Пропорция: крест-накрест

\(\dfrac{3}{x-1}=\dfrac2x,\ x\ne1,\ x\ne0\)
\(3x=2(x-1)\)
\(x=-2\)

Если слева и справа по одной дроби, пользуемся свойством пропорции: произведение крайних равно произведению средних.

\(3x=2(x-1)\) → \(3x=2x-2\) → \(x=-2\). Запретам не противоречит. Проверка: \(\frac{3}{-3}=-1\) и \(\frac{2}{-2}=-1\).

Что спросить у класса

Когда можно умножать крест-накрест?
Можно ли так делать, если слева сумма двух дробей?

4 из 12

Умножаем на общий знаменатель

\(\dfrac1x+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{3}{x(x+2)}\)
умножаем на \(x(x+2)\): \((x+2)+x=3\)
\(x=0{,}5\)

Умножаем обе части на общий знаменатель \(x(x+2)\) — и каждое слагаемое отдельно. Знаменатели сокращаются.

\((x+2)+x=3\) → \(2x=1\) → \(x=0{,}5\). Запреты \(x\ne0\), \(x\ne-2\) не нарушены. Проверка: слева \(2+0{,}4=2{,}4\), справа \(\frac{3}{1{,}25}=2{,}4\).

Что спросить у класса

На что умножили первое слагаемое?
Какие значения x запрещены?

5 из 12

Посторонний корень

\(\dfrac{x^2}{x-3}=\dfrac{9}{x-3},\ x\ne3\)
\(x^2=9\ \Rightarrow\ x=\pm3\)
\(x=3\) запрещён → ответ: \(-3\)

Умножили на \(x-3\) и получили \(x^2=9\) с корнями \(\pm3\). Но при \(x=3\) исходное уравнение не существует — это посторонний корень.

Ответ: \(x=-3\). Без записанных запретов ученик уверенно отвечает «\(\pm3\)» — и теряет балл.

Что спросить у класса

Почему \(x=3\) не корень, хотя \(x^2=9\) выполняется?
На каком шаге появился лишний корень?

6 из 12

Сводится к квадратному

\(\dfrac6x-\dfrac{6}{x+1}=1,\ x\ne0,\ x\ne-1\)
\(6(x+1)-6x=x(x+1)\)
\(x^2+x-6=0\): 2 и \(-3\)

Чаще всего после умножения получается квадратное уравнение.

\(6x+6-6x=x^2+x\) → \(x^2+x-6=0\) → \(x=2\), \(x=-3\). Оба разрешены. Проверка \(x=2\): \(3-2=1\); \(x=-3\): \(-2+3=1\).

Что спросить у класса

Куда делось 6x после раскрытия скобок?
Нужно ли отбрасывать какой-то из корней?

7 из 12

Знаменатели раскладываем

\(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{4}{x^2-4}\)
\((x+2)+(x-2)=4\ \Rightarrow\ x=2\)
\(x\ne\pm2\) — корней нет

Общий знаменатель \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) виден только после разложения.

Получаем \(2x=4\), \(x=2\) — но это запрещённое значение. Единственный корень оказался посторонним, значит, уравнение корней не имеет. Такой ответ законен.

Что спросить у класса

Что записать в ответ, если все корни посторонние?
Какие значения запрещены в этом уравнении?

8 из 12

Дробь равна нулю

\(\dfrac{x^2-16}{x+4}=0\)
числитель \(=0\), знаменатель \(\ne0\)
\(x=4\)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.

\(x^2-16=0\) даёт \(\pm4\), но \(x=-4\) обнуляет знаменатель. Остаётся \(x=4\).

Что спросить у класса

Почему \(x=-4\) не подходит?
Может ли дробь равняться нулю при нулевом знаменателе?

9 из 12

Задача как в ОГЭ

\(\dfrac{4}{x-3}=x,\ x\ne3\)
\(x^2-3x-4=0\): 4 и \(-1\)
меньший корень: \(-1\)

Решите уравнение \(\frac{4}{x-3}=x\). Если корней несколько, запишите меньший.

\(x(x-3)=4\) → \(x^2-3x-4=0\) → \(x=4\), \(x=-1\). Оба разрешены. Проверка: \(\frac41=4\), \(\frac{4}{-4}=-1\). В ответ — \(-1\).

Что спросить у класса

Какой корень записать, если просят больший?
Зачем проверка, если оба корня разрешены?

10 из 12

Самостоятельная работа

решите уравнение:
1) \(\dfrac{5}{x-2}=\dfrac3x\) 2) \(\dfrac{x^2}{x+4}=\dfrac{16}{x+4}\) 3) \(\dfrac{x^2-9}{x-3}=0\)
4) \(\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{x+1}=1\) 5) \(\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{18}{x^2-9}\)
6) \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}\)

Пропорция, посторонний корень, дробь-ноль, квадратное внутри, разложение знаменателя. Шестое — для сильных: после умножения получается верное равенство без переменной.

Ответы для учителя: 1) \(-3\); 2) \(4\); 3) \(-3\); 4) \(3\); \(-4\); 5) \(7\); 6) любое \(x\), кроме \(\pm1\) (получается \(2=2\)).

Что спросить у класса

В каком задании пришлось отбросить корень?
Что значит ответ «любое x, кроме ±1»?

11 из 12

Частые ошибки

не выписали запреты → посторонний корень в ответе ✗
умножили на знаменатель не все слагаемые ✗
«крест-накрест» при сумме дробей ✗

Самая дорогая ошибка — забыть проверить корни по запретам. Вторая — умножить на общий знаменатель только дроби и забыть целое слагаемое: в \(\frac6x-\frac{6}{x+1}=1\) единицу тоже надо умножить.

Третья — применять пропорцию там, где слева или справа не одна дробь.

Что спросить у класса

На что надо умножить число 1 в правой части?
Когда пропорцию применять нельзя?

12 из 12

Дробно-рациональные уравнения

Разминка: при каких x нельзя

Что такое дробное уравнение

План решения

Пропорция: крест-накрест

Умножаем на общий знаменатель

Посторонний корень

Сводится к квадратному

Знаменатели раскладываем

Дробь равна нулю

Задача как в ОГЭ

Самостоятельная работа

Частые ошибки

Выдайте эту тему классу домашним заданием