Подобие треугольников: одинаковая форма, разный размер. Признаки, коэффициент, площади и задача про тень от фонаря.
Подобие — это пропорции в геометрии. Три разминочных вопроса — ровно на них.
Ответы: \(x=8\); \(x=4\); 3 м. Основное свойство пропорции — произведение крайних равно произведению средних — сегодня понадобится в каждой задаче.
Увеличенная фотография похожа на исходную: все углы те же, а все расстояния выросли в одно и то же число раз.
Такие фигуры называют подобными. Треугольники — самый важный случай: через них решаются задачи про тени, высоты деревьев и масштаб.
Треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Отношение сходственных сторон — коэффициент подобия \(k\). На чертеже \(A_1C_1:AC=8:5\), значит \(k=1{,}6\), и так же относятся все остальные пары сторон.
Синие углы равны, зелёные равны — значит, треугольники подобны. Все стороны второго больше в одно и то же число раз: k = 1,6.
Проверять все шесть условий не нужно. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны.
Третьи углы равны автоматически: сумма углов \(180^\circ\). Это самый часто используемый признак — углы равны из-за параллельных прямых или общего угла.
Ещё два признака, похожих на признаки равенства: две стороны пропорциональны и углы между ними равны; или все три стороны пропорциональны.
Треугольники 3, 4, 5 и 6, 8, 10 подобны по третьему признаку: каждая сторона больше в 2 раза.
Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник: угол \(B\) общий, а углы при \(MN\) и \(AC\) соответственные.
\(k=\frac{BM}{BA}=\frac4{12}=\frac13\), поэтому \(MN=\frac13\cdot15=5\). Внимание: отношение берём от вершины \(B\) до всей стороны, а не к оставшемуся куску.
MN ∥ AC, угол B общий — треугольники BMN и BAC подобны. Поэтому BM : BA = MN : AC = BN : BC — отношение берём ко всей стороне, а не к куску MA.
Если все стороны увеличились в \(k\) раз, то и периметр вырос в \(k\) раз.
А площадь — в \(k^2\) раз: и основание, и высота выросли в \(k\) раз. Треугольник площадью 20 при \(k=2\) превращается в треугольник площадью 80, а не 40.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на два треугольника, подобных исходному и друг другу.
Из подобия \(\frac hp=\frac qh\), то есть \(h^2=pq\). При \(p=4\), \(q=9\) высота \(h=6\).
Человек ростом 1,8 м стоит в 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,2 м. Найдите длину тени.
Столб и человек параллельны, лучи сходятся в конце тени — треугольники подобны. \(\frac{7{,}2}{1{,}8}=\frac{12+x}{x}\) → \(4x=12+x\) → \(x=4\) м. Задача №17 ОГЭ.
Коэффициент, периметры, площади, параллельная прямая, тень и высота из прямого угла. К четвёртому и пятому — чертёж.
Ответы для учителя: 1) 21; 2) 3; 3) 48; 4) 8 (\(k=0{,}4\)); 5) 1,8 м; 6) 4.
Самая частая — забыть квадрат в отношении площадей. Вторая — в треугольнике с параллельной прямой взять отношение \(BM:MA\) вместо \(BM:BA\).
Третья — перепутать сходственные стороны. Лекарство одно: сначала выписать равные углы, а стороны сопоставлять как лежащие против равных углов.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.