Квадратный корень: почему он неотрицательный, как выносить множитель и почему √(a + b) ≠ √a + √b.
Две вещи понадобятся весь урок: знать квадраты и видеть в числе множитель-квадрат. Разминка — ровно на них.
Ответы: \(13^2=169\); \(0{,}3^2=0{,}09\) (частая ошибка — 0,9); \((-6)^2=36\); \(72=36\cdot2\); \(48=16\cdot3\).
Квадрат площадью 49 имеет сторону 7: \(7^2=49\). А квадрат площадью 2? Ни одно целое и ни одна обыкновенная дробь в квадрате не дают ровно 2.
Такое число записывают как \(\sqrt{2}\) и читают «корень из двух». Приблизительно это 1,41 — квадрат со стороной 1,41 имеет площадь 1,9881.
Арифметический квадратный корень из \(a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
Отсюда три факта: \(\sqrt a\ge0\); \((\sqrt a)^2=a\); выражение \(\sqrt a\) имеет смысл только при \(a\ge0\).
Уравнение \(x^2=25\) имеет два корня: 5 и −5. А знак \(\sqrt{25}\) — это одно конкретное число, и по определению оно неотрицательное: 5.
Поэтому корни уравнения записывают как \(x=\pm\sqrt{25}\), со знаком перед корнем. Корень из отрицательного числа не существует: никакое число в квадрате не даёт −4.
Квадраты чисел до 20 нужно узнавать мгновенно — и в обратную сторону: \(\sqrt{196}=14\), \(\sqrt{289}=17\).
Полезный приём для остальных: квадрат числа, оканчивающегося на 5, — \(35^2\): \(3\cdot4=12\), дописываем 25, получаем 1225.
Кажется, что \(\sqrt{a^2}=a\). Но при \(a=-3\): \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3\), то есть не \(a\), а \(-a\).
Верная формула: \(\sqrt{a^2}=|a|\). Модуль и делает результат неотрицательным, как требует определение.
Корень из произведения равен произведению корней: \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\) при \(a,b\ge0\). Работает в обе стороны.
\(\sqrt{0{,}36\cdot49}=0{,}6\cdot7=4{,}2\). А \(\sqrt{18}\cdot\sqrt2\) удобнее собрать под один корень: \(\sqrt{36}=6\).
Для частного правило то же: \(\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\) при \(a\ge0\), \(b>0\).
\(\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac35\). И обратно: \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5\).
Под корнем ищем множитель-квадрат и выносим его корень: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\).
Так корни становятся «подобными» и складываются: \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3\). Обратная операция — внести множитель: \(3\sqrt2=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}\).
Чтобы сравнить \(2\sqrt7\) и \(3\sqrt3\), вносим множители под корень: \(\sqrt{28}\) и \(\sqrt{27}\). Больше тот корень, у которого больше подкоренное число, — значит, \(2\sqrt7>3\sqrt3\).
Оценка между целыми: \(25<30<36\), поэтому \(5<\sqrt{30}<6\). Это частый вопрос ОГЭ «между какими целыми числами лежит…».
Корень в знаменателе убирают, домножая дробь на подходящее выражение. Если там один корень — на него же: \(\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\).
Если разность — на сопряжённую сумму, чтобы сработала разность квадратов: \(\frac{1}{\sqrt5-2}=\frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5)^2-2^2}=\sqrt5+2\).
По одному заданию на каждое правило урока. Третье — ловушка: смешанное число сначала переводят в неправильную дробь.
Ответы для учителя: 1) \(5{,}6\); 2) \(6\); 3) \(\frac53\) (так как \(2\frac79=\frac{25}{9}\)); 4) \(0\) (\(2\sqrt2+3\sqrt2-5\sqrt2\)); 5) \(4\sqrt2>2\sqrt7\), потому что \(\sqrt{32}>\sqrt{28}\); 6) \(2\sqrt5\).
Главная ловушка — «разбить» корень суммы. Числовой пример закрывает вопрос навсегда: \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), а \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\).
Ещё две: забыть про модуль в \(\sqrt{a^2}\) и приписать корню два значения, спутав его с решением уравнения.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.