Тригонометрические тождества

Разминка: катеты и гипотенуза

катеты 3 и 4 — гипотенуза?
какой катет прилежит к углу \(A\), какой противолежит?

Тригонометрия 8 класса — это отношения сторон прямоугольного треугольника. Главное — не путать, какой катет «чей».

Ответы: 5. Прилежащий катет — сторона угла \(A\), противолежащий — лежит напротив угла \(A\).

Что спросить у класса

Какой катет противолежащий для угла B?
Может ли гипотенуза быть прилежащим катетом?

1 из 13

Синус, косинус, тангенс

\(\sin A=\dfrac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}\)
\(\cos A=\dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}\)
\(\operatorname{tg}A=\dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}\)

Для острого угла \(A\) прямоугольного треугольника: \(\sin A=\frac{BC}{AB}\), \(\cos A=\frac{AC}{AB}\), \(\operatorname{tg}A=\frac{BC}{AC}\).

Синус и косинус — отношения к гипотенузе, поэтому они всегда меньше 1. Тангенс может быть любым положительным числом.

Показать классу

Для угла A: sin A = 3/5, cos A = 4/5, tg A = 3/4. Для угла B катеты меняются ролями.

Что спросить у класса

Почему синус острого угла меньше 1?
Может ли тангенс быть больше 1?

2 из 13

Считаем для 3, 4, 5

\(BC=3,\ AC=4,\ AB=5\)
\(\sin A=\dfrac35,\quad\cos A=\dfrac45,\quad\operatorname{tg}A=\dfrac34\)

На чертеже катет против угла \(A\) — 3, прилежащий — 4, гипотенуза — 5.

\(\sin A=\frac35\), \(\cos A=\frac45\), \(\operatorname{tg}A=\frac34\). Для угла \(B\) роли катетов меняются: \(\sin B=\frac45\), \(\cos B=\frac35\).

Что спросить у класса

Чему равен tg B?
Какие значения у угла A и у угла B совпали?

3 из 13

Зависят только от угла

3, 4, 5 и 6, 8, 10 — подобны
\(\sin A=\dfrac35=\dfrac{6}{10}\)
размер треугольника не важен

Все прямоугольные треугольники с одним и тем же острым углом подобны. Отношения сторон у них одинаковые.

Поэтому синус, косинус и тангенс — характеристики угла, а не треугольника: \(\frac35=\frac6{10}\). Это оправдывает само определение.

Что спросить у класса

Какой урок объясняет, почему отношения совпадают?
Изменится ли sin A, если все стороны увеличить втрое?

4 из 13

Основное тождество

\(\sin^2A+\cos^2A=1\)
\(\left(\dfrac35\right)^2+\left(\dfrac45\right)^2=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1\)

\(\sin^2A+\cos^2A=\frac{BC^2+AC^2}{AB^2}\). По теореме Пифагора числитель равен \(AB^2\), значит, сумма равна 1.

Основное тригонометрическое тождество — это теорема Пифагора, переписанная через отношения. Проверка на 3, 4, 5 сходится.

Что спросить у класса

Какая теорема спрятана в тождестве?
Чему равно \(\sin^2 50^\circ+\cos^2 50^\circ\)?

5 из 13

Тангенс через синус и косинус

\(\operatorname{tg}A=\dfrac{\sin A}{\cos A}\)
\(\dfrac35:\dfrac45=\dfrac34\)

Разделим синус на косинус: гипотенузы сокращаются, остаётся отношение катетов. Поэтому \(\operatorname{tg}A=\frac{\sin A}{\cos A}\).

\(\frac35:\frac45=\frac34\) — совпало с определением.

Что спросить у класса

Что сокращается при делении синуса на косинус?
\(\sin A=0{,}6,\ \cos A=0{,}8\). Тангенс?

6 из 13

По синусу найти косинус

\(\sin A=\dfrac{5}{13}\)
\(\cos A=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}\)
\(\operatorname{tg}A=\dfrac{5}{12}\)

Из тождества \(\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}\) — со знаком плюс, потому что угол острый.

\(\cos A=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}\), \(\operatorname{tg}A=\frac{5}{12}\). Узнаёте тройку 5, 12, 13? Можно было просто нарисовать треугольник.

Что спросить у класса

Почему косинус берём положительным?
Какой треугольник можно нарисовать по \(\sin A=\dfrac{5}{13}\)?

7 из 13

Значения для 30°, 45°, 60°

\(\sin30^\circ=\dfrac12\)    \(\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)    \(\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}\)
\(\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\)    \(\operatorname{tg}45^\circ=1\)
\(\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)    \(\cos60^\circ=\dfrac12\)    \(\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3\)

Эти значения выводятся из двух треугольников: половинки равностороннего (углы 30° и 60°) и половинки квадрата (45°).

Катет против \(30^\circ\) — половина гипотенузы, отсюда \(\sin30^\circ=\frac12\). В равнобедренном прямоугольном катеты равны, отсюда \(\operatorname{tg}45^\circ=1\).

Что спросить у класса

Из какого треугольника получается \(\sin30^\circ\)?
Почему \(\operatorname{tg}45^\circ=1\)?

8 из 13

Синус и косинус меняются

\(A+B=90^\circ\ \Rightarrow\ \sin A=\cos B\)
\(\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12\)

Противолежащий катет для угла \(A\) — прилежащий для угла \(B\). Поэтому синус одного острого угла равен косинусу другого.

В таблице это видно: \(\sin30^\circ=\cos60^\circ\), \(\sin60^\circ=\cos30^\circ\).

Что спросить у класса

Чему равен \(\cos70^\circ\), если \(\sin20^\circ\approx0{,}34\)?
Почему значения совпадают?

9 из 13

Найти сторону по углу

противолежащий = гипотенуза \(\cdot\sin A\)
прилежащий = гипотенуза \(\cdot\cos A\)
\(AB=10,\ \angle A=30^\circ\ \Rightarrow\ BC=5\)

Из определений: \(BC=AB\cdot\sin A\), \(AC=AB\cdot\cos A\), \(BC=AC\cdot\operatorname{tg}A\).

Гипотенуза 10 и угол \(30^\circ\): \(BC=10\cdot\frac12=5\), \(AC=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3\).

Что спросить у класса

Какая функция нужна, чтобы найти прилежащий катет по гипотенузе?
Прилежащий катет 6, \(\operatorname{tg}A=\dfrac12\). Противолежащий?

10 из 13

Задача как в ОГЭ

\(\angle C=90^\circ,\ AB=15,\ \sin A=0{,}6\)
\(BC=15\cdot0{,}6=9\)
\(AC=\sqrt{225-81}=12\)

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(AB=15\), \(\sin A=0{,}6\). Найдите \(BC\).

\(BC\) — противолежащий катет: \(15\cdot0{,}6=9\). Если спросят \(AC\), — по Пифагору 12 или через \(\cos A=0{,}8\). Задача №15 ОГЭ.

Что спросить у класса

Какой катет противолежащий углу A?
Как найти AC двумя способами?

11 из 13

Самостоятельная работа

1) катеты 5 и 12 — синус меньшего угла    2) \(\cos A=0{,}8\) — \(\sin A\)?
3) \(\operatorname{tg}A=2{,}4\) — \(\cos A\)?    4) \(AB=20,\ \cos A=0{,}4\) — \(AC\)?
5) \(\angle C=90^\circ,\ BC=7,\ \operatorname{tg}A=\dfrac{7}{24}\) — \(AC\)?    6) \(\sin^2 37^\circ+\cos^2 37^\circ=\,?\)

Определения, тождество, стороны по углу и одна проверка на понимание тождества. К первым пяти — чертёж с подписанными катетами.

Ответы для учителя: 1) \(\frac5{13}\); 2) 0,6; 3) \(\frac5{13}\) (\(1+\operatorname{tg}^2A=\frac1{\cos^2A}\), или треугольник 5, 12, 13); 4) 8; 5) 24; 6) 1.

Что спросить у класса

Какой угол меньший в первом и почему?
Какой треугольник удобно нарисовать в третьем?

12 из 13

Частые ошибки

\(\sin A=\dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}\) ✗
\(\sin A=1{,}2\) ✗ — синус острого угла меньше 1
\(\operatorname{tg}A=\dfrac{\text{катет}}{\text{гипотенуза}}\) ✗

Путают противолежащий и прилежащий катеты — лечится подписью на чертеже перед каждой задачей. Получают синус больше единицы — значит, делили на катет, а не на гипотенузу.

И тангенс: это отношение катетов, гипотенуза в нём не участвует.

Что спросить у класса

Что делать, если синус получился больше 1?
Участвует ли гипотенуза в тангенсе?

13 из 13

Тригонометрические тождества

Разминка: катеты и гипотенуза

Синус, косинус, тангенс

Считаем для 3, 4, 5

Зависят только от угла

Основное тождество

Тангенс через синус и косинус

По синусу найти косинус

Значения для 30°, 45°, 60°

Синус и косинус меняются

Найти сторону по углу

Задача как в ОГЭ

Самостоятельная работа

Частые ошибки

Выдайте эту тему классу домашним заданием