1) обозначить неизвестное \(x\) 2) выразить остальное через \(x\) 3) составить уравнение 4) решить и отобрать корни 5) ответить на вопрос задачи
Пять шагов, и пятый не менее важен, чем третий: часто за \(x\) обозначают
одно, а спрашивают другое.
За \(x\) удобно брать то, через что проще выразить остальные величины, —
не обязательно то, о чём спрашивают.
Что спросить у класса
Обязательно ли за x брать искомую величину?
Почему пятый шаг отдельный?
2 из 12
Задача про числа
произведение двух соседних натуральных = 56 \(x(x+1)=56\ \Rightarrow\ x^2+x-56=0\) \(x=7\) (\(-8\) не натуральное) → 7 и 8
Обозначим меньшее число \(x\), тогда большее — \(x+1\):
\(x(x+1)=56\).
\(x^2+x-56=0\), корни 7 и \(-8\). Число \(-8\) не натуральное — отбрасываем.
Ответ: 7 и 8. Проверка устно: \(7\cdot8=56\).
Что спросить у класса
Почему отбросили −8?
Какой ответ, если бы числа были целыми, а не натуральными?
3 из 12
Площадь прямоугольника
одна сторона на 4 больше другой, \(S=60\) \(x(x+4)=60\ \Rightarrow\ x^2+4x-60=0\) \(x=6\) → стороны 6 и 10
Меньшая сторона \(x\), большая \(x+4\), площадь — их произведение.
\(x^2+4x-60=0\): \(D=16+240=256\), \(x=\frac{-4\pm16}{2}\), корни 6 и \(-10\).
Длина не бывает отрицательной — стороны 6 и 10.
Что спросить у класса
Какой корень не подходит по смыслу?
Как проверить ответ по условию?
4 из 12
Отбор корней по смыслу
длина, скорость, время > 0 число людей, деталей — натуральное скорость лодки больше скорости течения
Уравнение не знает, что \(x\) — это длина или количество рабочих. Отбирает
корни ученик, и делает это по условию.
Отбрасываем отрицательные длины и скорости, дробное число людей, скорость
лодки меньше скорости течения — такая лодка против течения плыть не сможет.
Что спросить у класса
Может ли в ответе оказаться 2,5 человека?
Почему скорость лодки должна быть больше скорости течения?
5 из 12
Таблица: скорость, время, путь
\(\begin{array}{l|c|c|c} & v & t & s\\ \hline \text{реально} & v & \dfrac{60}{v} & 60\\[6pt] \text{быстрее} & v+5 & \dfrac{60}{v+5} & 60\end{array}\)
В задачах на движение данных много, и их легко перепутать. Таблица
«скорость — время — путь» раскладывает всё по местам.
В одну клетку записываем известное, во вторую — выраженное через \(x\),
третью заполняем по формуле \(s=vt\). Уравнение обычно составляется
из столбца, о котором в условии сказано сравнение.
Что спросить у класса
Какую формулу используем для третьей клетки?
Из какого столбца составляют уравнение?
6 из 12
Задача на движение
60 км; при скорости на 5 км/ч больше — на 1 ч раньше \(\dfrac{60}{v}-\dfrac{60}{v+5}=1\) \(v^2+5v-300=0\ \Rightarrow\ v=15\) км/ч
Велосипедист проехал 60 км. Если бы его скорость была на 5 км/ч больше,
он приехал бы на час раньше. Найдите скорость.
Время медленнее больше на 1: \(\frac{60}{v}-\frac{60}{v+5}=1\). Умножаем на
\(v(v+5)\): \(300=v^2+5v\), \(D=1225=35^2\), \(v=15\) (второй корень \(-20\)).
Что спросить у класса
Почему из большего времени вычитаем меньшее?
Какой корень отбросили и почему?
7 из 12
Скорость по течению и против
24 км туда и 24 обратно за 5 ч, течение 2 км/ч \(\dfrac{24}{v+2}+\dfrac{24}{v-2}=5\) \(5v^2-48v-20=0\ \Rightarrow\ v=10\) км/ч
По течению скорость \(v+2\), против — \(v-2\). Общее время — сумма:
\(\frac{24}{v+2}+\frac{24}{v-2}=5\).
\(24(v-2)+24(v+2)=5(v^2-4)\) → \(5v^2-48v-20=0\), \(D=2704=52^2\),
\(v=10\) или \(v=-0{,}4\). Ответ: 10 км/ч. Это задача №21 ОГЭ почти дословно.
Что спросить у класса
Какая скорость у лодки против течения?
Почему −0,4 не подходит?
8 из 12
Задача на совместную работу
первая труба быстрее второй на 5 ч, вместе — 6 ч \(\dfrac1x+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac16\) \(x^2-7x-30=0\ \Rightarrow\ x=10\) → 10 ч и 15 ч
Всю работу принимаем за 1. Если труба наполняет бассейн за \(x\) часов,
за час она делает \(\frac1x\) работы. Вместе за час — \(\frac16\).
\(6(x+5)+6x=x(x+5)\) → \(x^2-7x-30=0\) → \(x=10\) (корень \(-3\) отбрасываем).
Вторая — 15 ч. Проверка: \(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}\).
Что спросить у класса
Какую часть работы труба делает за час?
Почему всю работу принимают за 1?
9 из 12
Задача про квадратный участок
сторону увеличили на 3 м — площадь стала 64 м² \((x+3)^2=64\) \(x+3=8\ \Rightarrow\ x=5\) м
Иногда уравнение сразу неполное: \((x+3)^2=64\) решается извлечением корня.
\(x+3=8\) или \(x+3=-8\). Второе даёт \(x=-11\) — отрицательную сторону.
Ответ: 5 м.
Что спросить у класса
Нужен ли тут дискриминант?
Какой вариант отбросили?
10 из 12
Самостоятельная работа
1) сумма квадратов двух соседних натуральных = 145 2) периметр прямоугольника 30, площадь 56 — стороны? 3) поезд, 120 км: на 10 км/ч быстрее — на 1 ч раньше 4) лодка: 40 км туда и обратно за 9 ч, течение 1 км/ч 5) две бригады вместе — 4 дня, одна быстрее другой на 6 дней 6) сторону квадрата уменьшили на 2 см — площадь 49 см²
По одной задаче каждого типа урока. Требование к оформлению: обозначение,
уравнение, отбор корней, ответ на вопрос.
Ответы для учителя: 1) 8 и 9; 2) 7 и 8; 3) 30 км/ч; 4) 9 км/ч;
5) 6 и 12 дней; 6) 9 см.
Что спросить у класса
В какой задаче удобнее всего таблица?
Где отбор корней оказался самым важным?
11 из 12
Частые ошибки
оставили отрицательную скорость или длину ✗ нашли x, а спрашивали другую величину ✗ время в минутах, скорость в км/ч ✗
Первая ошибка — не отобрать корни по смыслу. Вторая — остановиться на \(x\):
нашли меньшую сторону, а спрашивали большую.
Третья — единицы: «на 20 минут раньше» надо записать как \(\frac13\) часа,
иначе уравнение получится неверным.
Что спросить у класса
Как записать 20 минут в часах?
Что сделать после того, как нашли x?
12 из 12
После урока
Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.