Арифметическая прогрессия: разность, формула n-го члена, сумма и откуда в формулах берётся n − 1.
Устно находим, на сколько отличаются соседние числа, и продолжаем ряд.
Ответы: шаг 4, следующий 21; шаг \(-3\), следующий 11. Обратите внимание класса: во втором ряду шаг отрицательный — числа убывают.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и то же число \(d\).
Число \(d\) называют разностью. Это рекуррентная формула: зная \(a_1\) и \(d\), можно получить любой член.
Разность — следующий член минус предыдущий, всегда в этом порядке. Иначе потеряется знак.
При \(d>0\) прогрессия возрастает, при \(d<0\) убывает, при \(d=0\) все члены одинаковые: 7, 7, 7, … — это тоже прогрессия.
От первого члена до \(n\)-го делаем \((n-1)\) шагов по \(d\). Отсюда формула \(a_n=a_1+(n-1)d\).
На чертеже пять столбиков и четыре ступеньки между ними. Именно поэтому в формуле \(n-1\), а не \(n\): шагов на один меньше, чем членов.
Пять членов — а шагов между ними четыре. Поэтому пятый член \(a_5=a_1+4d=2+4\cdot3=14\), и в формуле стоит \(n-1\).
Подставляем в формулу: номер 10, значит шагов 9.
\(a_{10}=5+9\cdot3=32\). Проверка «пешком» для маленьких номеров полезна: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 — десятый член 32.
Формулу можно использовать в обратную сторону: известны два члена — найдём разность.
\(a_8=a_1+7d\): \(4+7d=25\), \(7d=21\), \(d=3\). Между первым и восьмым членом семь шагов.
Если даны два любых члена, разность между ними — это (разница номеров) \(\cdot\, d\).
От третьего до седьмого — четыре шага: \(4d=12\), \(d=3\). Первый член на два шага раньше третьего: \(a_1=10-6=4\).
Сумма членов арифметической прогрессии — среднее первого и последнего, умноженное на число членов.
Так, по легенде, маленький Гаусс сложил числа от 1 до 100: пары \(1+100\), \(2+99\), … дают по 101, пар 50 — итого 5050.
Если последний член не дан, подставляем в формулу суммы \(a_n=a_1+(n-1)d\) — получается вторая формула.
\(a_1=3\), \(d=4\), \(n=10\): \(2a_1+9d=6+36=42\), делим на 2 и умножаем на 10 — сумма 210.
Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого, — среднее арифметическое соседних. Это её характерное свойство.
Числа \(7,\ x,\ 19\) образуют прогрессию, если \(x=\frac{7+19}{2}=13\). Проверка: разности \(13-7=6\) и \(19-13=6\) равны.
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, в каждом следующем на 2 больше. Сколько мест в амфитеатре?
Ряды — члены прогрессии с \(a_1=18\), \(d=2\). В последнем ряду \(18+22=40\) мест. Всего \(\frac{18+40}{2}\cdot12=29\cdot12=348\).
Задания по нарастающей: член, разность, первый член, сумма, среднее, номер.
Ответы для учителя: 1) \(-21\); 2) 3; 3) \(a_1=2\) (\(d=3\)); 4) 400; 5) 7; 6) \(n=25\).
Главная ошибка — умножить разность на \(n\) вместо \(n-1\) и получить следующий член вместо нужного. Проверка «пешком» на первых членах ловит её сразу.
Ещё две: вычитать в обратном порядке и терять знак разности, а в формуле суммы забывать умножить на число членов.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.