Биквадратное уравнение решается двумя известными шагами: квадратное уравнение и уравнение вида \(x^2=a\). Проверяем оба устно.
Ответы: \(t^2-5t+4=0\) — корни 1 и 4 (сумма 5, произведение 4). \(x^2=4\) — два корня \(\pm2\); \(x^2=0\) — один корень 0; \(x^2=-9\) — корней нет. Эти три случая — вся логика урока.
Биквадратным называют уравнение \(ax^4+bx^2+c=0\): в нём есть только четвёртая степень, квадрат и число. Нечётных степеней — \(x^3\) и \(x\) — нет.
Именно поэтому работает замена: \(x^4=(x^2)^2\), и уравнение становится квадратным относительно \(x^2\).
Обозначаем \(x^2=t\). Сразу записываем ограничение \(t\ge0\): квадрат числа не бывает отрицательным. Оно понадобится при отборе.
Уравнение \(x^4-5x^2+4=0\) превращается в \(t^2-5t+4=0\), корни \(t=1\) и \(t=4\). Оба неотрицательны — оба подходят. Но это ещё не ответ.
Каждый найденный \(t\) превращаем обратно в уравнение \(x^2=t\). Положительное \(t\) даёт два противоположных корня.
\(x^2=1\) — это \(\pm1\), \(x^2=4\) — это \(\pm2\). Четыре корня — максимум для уравнения четвёртой степени. Ответ пишут в порядке возрастания.
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.