Биквадратные уравнения: замена переменной превращает четвёртую степень в квадратное уравнение — главное не забыть вернуться к x.
Биквадратное уравнение решается двумя известными шагами: квадратное уравнение и уравнение вида \(x^2=a\). Проверяем оба устно.
Ответы: \(t^2-5t+4=0\) — корни 1 и 4 (сумма 5, произведение 4). \(x^2=4\) — два корня \(\pm2\); \(x^2=0\) — один корень 0; \(x^2=-9\) — корней нет. Эти три случая — вся логика урока.
Биквадратным называют уравнение \(ax^4+bx^2+c=0\): в нём есть только четвёртая степень, квадрат и число. Нечётных степеней — \(x^3\) и \(x\) — нет.
Именно поэтому работает замена: \(x^4=(x^2)^2\), и уравнение становится квадратным относительно \(x^2\).
Обозначаем \(x^2=t\). Сразу записываем ограничение \(t\ge0\): квадрат числа не бывает отрицательным. Оно понадобится при отборе.
Уравнение \(x^4-5x^2+4=0\) превращается в \(t^2-5t+4=0\), корни \(t=1\) и \(t=4\). Оба неотрицательны — оба подходят. Но это ещё не ответ.
Каждый найденный \(t\) превращаем обратно в уравнение \(x^2=t\). Положительное \(t\) даёт два противоположных корня.
\(x^2=1\) — это \(\pm1\), \(x^2=4\) — это \(\pm2\). Четыре корня — максимум для уравнения четвёртой степени. Ответ пишут в порядке возрастания.
Корень квадратного уравнения может оказаться отрицательным. Такое \(t\) отбрасываем: \(x^2=-1\) не имеет решений.
У \(x^4-3x^2-4=0\) остаётся только \(t=4\), откуда \(x=\pm2\). Два корня, а не четыре — и в записи решения это нужно сказать словами.
Если оба значения \(t\) отрицательны, у исходного уравнения корней нет.
Это видно и без решения: при любом \(x\) слагаемые \(x^4\), \(5x^2\) и \(6\) неотрицательны, а последнее вообще положительное — сумма нулём быть не может. Хороший способ проверить себя.
Если свободного члена нет, замена не нужна: выносим \(x^2\) за скобку, как на прошлом уроке.
\(x^2=0\) даёт один корень 0, \(x^2=9\) — корни \(\pm3\). Через замену получилось бы то же: \(t=0\) и \(t=9\). Нулевое \(t\) даёт ровно один корень.
Число корней биквадратного уравнения складывается из вкладов каждого \(t\): положительное даёт два, нулевое — один, отрицательное — ни одного.
\(x^4-4x^2+4=0\) — это \((t-2)^2=0\), единственное \(t=2\) и два корня \(\pm\sqrt2\). Корни не обязаны быть целыми.
Если коэффициент при \(t^2\) не единица, подбор неудобен — считаем дискриминант.
\(D=25-16=9\), \(t=\frac{5\pm3}{8}\): \(t=1\) и \(t=\frac14\). Оба положительны: \(x=\pm1\) и \(x=\pm\frac12\). Четыре корня.
Тот же приём работает, когда повторяется целая скобка. Здесь \(t\) может быть и отрицательным: \(t=x^2+2x\) — не квадрат, ограничения \(t\ge0\) нет.
\(x^2+2x-3=0\) даёт \(1\) и \(-3\); \(x^2+2x+1=0\), то есть \((x+1)^2=0\), даёт \(-1\). Ответ: \(-3;\ -1;\ 1\).
В задании №20 ОГЭ биквадратное уравнение оценивают в два балла: нужна замена с ограничением, решение квадратного и обратный переход.
\(t=\frac{13\pm5}{2}\): 4 и 9, оба положительны. \(x^2=4\) и \(x^2=9\) дают \(\pm2\) и \(\pm3\). Проверка \(x=3\): \(81-117+36=0\).
Задания по нарастающей: четыре корня, отбор, нет корней, неполные, дискриминант.
Ответы для учителя: 1) \(\pm1;\ \pm3\); 2) \(\pm2\) (\(t=-3\) отброшено); 3) корней нет; 4) \(\pm2\); 5) \(0;\ \pm\sqrt7\); 6) \(\pm1;\ \pm\frac13\).
Главная ошибка — записать в ответ значения \(t\): спрашивали про \(x\). Замена — это временная переменная, в ответе её быть не должно.
Ещё две: не отбросить отрицательное \(t\) и из \(x^2=4\) взять только положительный корень.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.