Пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие: одно произведение отрезков в трёх видах.
Все теоремы урока записываются как равенство произведений. Решаем такие уравнения устно.
Ответы: \(x=3\); \(x=6\) (длина положительна); \(x^2=36\), \(x=6\). Последний пример — пропорция, из которой и получаются теоремы урока.
Если две хорды пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Отрезки каждой хорды отсчитываются от точки пересечения: \(AP\) и \(PB\) у одной, \(CP\) и \(PD\) у другой. Перемножаются отрезки одной хорды.
Хорды \(AB\) и \(CD\) делятся точкой \(P\) так, что \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\): произведения отрезков каждой хорды одинаковы.
Подставляем известные отрезки и находим неизвестный.
\(36=6\cdot PD\), \(PD=6\). Вся хорда \(CD=CP+PD=12\). Проверка «на глаз»: у хорды \(AB=13\) отрезки неравные, у \(CD\) — точка пересечения посередине.
Хорды \(AB\) и \(CD\) делятся точкой \(P\) так, что \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\): произведения отрезков каждой хорды одинаковы.
Треугольники \(APC\) и \(DPB\) подобны по двум углам: углы при \(P\) вертикальные, а \(\angle CAB\) и \(\angle CDB\) вписанные и опираются на одну дугу \(CB\).
Из подобия \(\frac{AP}{DP}=\frac{CP}{BP}\), а перекрёстное умножение даёт теорему. Вся тема — это подобие треугольников и свойство вписанных углов.
Хорды \(AB\) и \(CD\) делятся точкой \(P\) так, что \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\): произведения отрезков каждой хорды одинаковы.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам — получаются две пересекающиеся хорды, и теорема работает.
Хорда 16 делится на \(8\) и \(8\), диаметр 20 — на \(x\) и \(20-x\). \(x^2-20x+64=0\), корни 4 и 16. Расстояние от центра \(10-4=6\) — тот же ответ, что дала бы теорема Пифагора.
Касательная имеет с окружностью одну общую точку. Радиус, проведённый в эту точку, перпендикулярен касательной.
Из точки вне окружности можно провести две касательные, и их отрезки до точек касания равны. Это понадобится в задачах на вписанную окружность.
Квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть: \(MT^2=MB\cdot MC\). Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
Квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть. Все отрезки отсчитываются от точки \(M\).
Если внешняя часть 4, а хорда внутри окружности 5, то вся секущая \(4+5=9\). \(MT^2=4\cdot9=36\), \(MT=6\). Перемножать внешнюю часть на хорду нельзя.
Квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть: \(MT^2=MB\cdot MC\). Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
Обратная задача: известна касательная и внешняя часть секущей, нужна хорда.
Вся секущая \(MC=144:8=18\). Хорда — часть внутри окружности: \(18-8=10\).
Для двух секущих из одной точки: произведение внешней части на всю секущую одинаково для обеих.
\(3\cdot12=36=4\cdot MD\), \(MD=9\). Касательная — предельный случай секущей, у которой обе точки слились: тогда \(MT\cdot MT=MT^2\).
Все три теоремы говорят одно: если через точку провести прямую, пересекающую окружность, произведение расстояний от точки до двух точек пересечения не зависит от прямой.
Внутри окружности это хорды, снаружи — секущие и касательная. Помня идею, формулы не нужно учить по отдельности.
В заданиях второй части эта теорема обычно спрятана внутри задачи: нужно заметить касательную и секущую из одной точки.
\(MC=36:4=9\), а хорда внутри окружности \(9-4=5\). Проверка: \(4\cdot9=36=6^2\).
Задания на все три теоремы и одно — на приём с диаметром.
Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.
Главная ошибка — умножать внешнюю часть секущей на хорду внутри окружности. Помните: все отрезки отсчитываются от одной точки.
Ещё две: перемножать отрезки разных хорд и путать «всю секущую» с её внутренней частью.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.