Метод координат: расстояние между точками, середина отрезка и уравнение окружности.
Все формулы урока — квадраты разностей и корни. Проверяем знаки и четверти.
Ответы: 9; 5; во второй четверти (\(x<0\), \(y>0\)). Отдельно спросите, почему \((-3)^2\) положительно — это пригодится в формуле расстояния.
Метод координат превращает геометрию в алгебру: точки задаются числами, расстояния и середины — формулами, линии — уравнениями.
Там, где в геометрии нужна догадка с дополнительным построением, в координатах часто достаточно аккуратно посчитать.
Расстояние между точками — длина вектора \(\overrightarrow{AB}\): корень из суммы квадратов разностей координат.
\(5-1=4\), \(4-1=3\), \(d=\sqrt{16+9}=5\). Порядок вычитания неважен — квадрат уберёт знак.
Разности координат — катеты: \(5-1=4\) и \(4-1=3\). Расстояние — гипотенуза: \(\sqrt{4^2+3^2}=5\). Середина — средние координат: \(\left(\frac{1+5}{2};\,\frac{1+4}{2}\right)=(3;\,2{,}5)\).
Проведём через \(A\) горизонталь, через \(B\) — вертикаль. Они пересекутся под прямым углом, и получится прямоугольный треугольник.
Его катеты — разности координат, гипотенуза — искомое расстояние. Формула — это просто Пифагор, записанный координатами.
Разности координат — катеты: \(5-1=4\) и \(4-1=3\). Расстояние — гипотенуза: \(\sqrt{4^2+3^2}=5\). Середина — средние координат: \(\left(\frac{1+5}{2};\,\frac{1+4}{2}\right)=(3;\,2{,}5)\).
Координаты середины — средние арифметические координат концов.
\(\frac{1+5}{2}=3\), \(\frac{1+4}{2}=2{,}5\). На чертеже красная точка стоит ровно посередине синего отрезка.
Разности координат — катеты: \(5-1=4\) и \(4-1=3\). Расстояние — гипотенуза: \(\sqrt{4^2+3^2}=5\). Середина — средние координат: \(\left(\frac{1+5}{2};\,\frac{1+4}{2}\right)=(3;\,2{,}5)\).
Формулу середины можно обратить: удвоенная координата середины минус координата известного конца.
\(x_B=2\cdot3-1=5\), \(y_B=4-5=-1\). Проверка: середина \(A(1;\,5)\) и \(B(5;\,-1)\) — \((3;\,2)\).
Окружность — все точки на расстоянии \(R\) от центра. Записываем это формулой расстояния и возводим в квадрат.
Центр читают со сменой знака: в \((x-2)^2\) абсцисса центра \(2\), в \((x+3)^2\) — \(-3\). Справа стоит квадрат радиуса: при 4 радиус 2.
Точка \((4;\,1)\): \((4-2)^2+(1-1)^2=4\) — на окружности. Точка \((3;\,3)\): \((3-2)^2+(3-1)^2=5>4\) — снаружи.
Точка лежит на линии, если её координаты превращают уравнение в верное равенство.
Для \((3;\,3)\) слева 5, больше 4 — точка дальше от центра, чем радиус, то есть снаружи. Если бы вышло меньше — внутри.
Точка \((4;\,1)\): \((4-2)^2+(1-1)^2=4\) — на окружности. Точка \((3;\,3)\): \((3-2)^2+(3-1)^2=5>4\) — снаружи.
Если центр в начале координат, уравнение короче: \(x^2+y^2=R^2\).
На окружности \(x^2+y^2=25\) лежат не только точки на осях, но и \((3;\,4)\), \((-4;\,3)\) и другие: \(9+16=25\).
Угловой коэффициент — отношение изменения \(y\) к изменению \(x\). Потом подставляем любую из точек и находим \(b\).
\(k=2\), из \(3=2\cdot1+b\) получаем \(b=1\). Проверка второй точкой: \(2\cdot3+1=7\).
Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный. В координатах доказательство — это вычисление длин сторон.
\(AC=BC=\sqrt{13}\), а \(AB=4\). Две стороны равны — треугольник равнобедренный с основанием \(AB\).
Задания по нарастающей: расстояние, середина, уравнение окружности, обратная задача.
Ответы для учителя: 1) 5; 2) \((-1;\,2)\); 3) центр \((-1;\,3)\), \(R=4\); 4) \(x^2+(y+2)^2=9\); 5) да; 6) \(B(3;\,-2)\).
Главная ошибка — прочитать центр окружности без смены знака. Проверка: подставьте центр в скобку — должно получиться 0.
Ещё две: принять \(R^2\) за радиус и искать середину как полуразность, а не полусумму координат.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.