Геометрическая прогрессия: знаменатель, формула n-го члена и суммы, и почему у q² = 9 два ответа.
В арифметической прогрессии прибавляли, здесь умножаем. Устно находим, во сколько раз следующий член больше предыдущего.
Ответы: 48 (умножаем на 2); 3 (умножаем на \(\frac13\)). Во втором ряду числа уменьшаются, но это всё равно умножение — на дробь.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \(q\). Число \(q\) называют знаменателем.
Ни первый член, ни знаменатель не могут быть нулём: иначе все следующие члены обнулятся, и деление на них станет невозможным.
Знаменатель — следующий член, делённый на предыдущий.
Он бывает отрицательным: тогда знаки членов чередуются, как в \(2,\ -6,\ 18,\ -54\). При \(0<q<1\) положительная прогрессия убывает, при \(q>1\) — растёт.
От первого члена до \(n\)-го — \((n-1)\) умножений на \(q\), отсюда степень \(n-1\). Это та же лестница, что в арифметической прогрессии, только шаги — умножения.
\(b_6=3\cdot2^5=96\). Проверка пешком: 3, 6, 12, 24, 48, 96 — шестой член 96.
С дробным знаменателем формула та же. Возводим дробь в степень — и числитель, и знаменатель.
\(\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}\), \(b_5=4\). Пешком: 64, 32, 16, 8, 4.
Формулу используют в обратную сторону. Между первым и четвёртым членом три умножения, поэтому появляется \(q^3\).
\(q^3=27\) даёт единственный ответ \(q=3\): у куба корень один.
Между вторым и четвёртым членом два умножения: \(b_4=b_2\cdot q^2\), \(q^2=9\). Квадрат даёт два знаменателя.
При \(q=3\): 2, 6, 18, 54. При \(q=-3\): −2, 6, −18, 54. Обе прогрессии подходят под условие. Если не сказано, что члены положительны, пишут оба случая.
Сумма \(n\) первых членов считается по формуле \(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\). При \(q=1\) все члены одинаковые, и сумма просто \(n\cdot b_1\).
Для 1, 2, 4, 8, 16: \(\frac{32-1}{2-1}=31\). Проверка сложением: \(1+2+4+8+16=31\). В формуле суммы степень \(n\), а не \(n-1\).
Подставляем по порядку: \(q^n=3^4=81\), в скобке \(80\), умножаем на \(b_1=3\) и делим на \(q-1=2\).
Для небольших \(n\) полезно сверить сложением — ошибку в степени это ловит сразу.
Квадрат каждого члена, кроме первого, равен произведению соседних. Для положительных прогрессий член — среднее геометрическое соседей.
\(4,\ x,\ 16\): \(x^2=64\), \(x=8\) или \(x=-8\). Обе тройки — прогрессии: с \(q=2\) и \(q=-2\).
В начале одна бактерия, через 20 минут — две, ещё через 20 — четыре. Это прогрессия с \(b_1=1\) и \(q=2\).
За 2 часа происходит 6 делений. Начальное количество — первый член, после шести делений — седьмой: \(b_7=2^6=64\). Та самая \(n-1\): шагов 6, членов 7.
Задания по нарастающей: член, дробный знаменатель, два случая, сумма, среднее, знаки.
Ответы для учителя: 1) 80; 2) 3; 3) \(q=\pm2\) (\(q^4=16\)); 4) 242; 5) 6; 6) \(b_6=-1\cdot(-2)^5=32\).
Главная ошибка — степень \(n\) вместо \(n-1\): получается следующий член. Проверка пешком на первых членах ловит её сразу.
Ещё две: из чётной степени брать только положительный знаменатель и путать умножение на \(q\) с прибавлением разности.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.