Движения плоскости: параллельный перенос, центральная и осевая симметрия, поворот — в картинках и в координатах.
Преобразования удобно записывать координатами. Разминаемся на векторах, симметрии и середине отрезка.
Ответы: \((3;\,2)\); \((-2;\,3)\); \((3;\,2)\). Середина отрезка пригодится для центральной симметрии.
Движение — преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Фигура при движении переходит в равную ей фигуру.
Отрезок переходит в отрезок той же длины, угол — в равный угол. Меняется только положение фигуры.
При параллельном переносе все точки сдвигаются на один и тот же вектор. В координатах к каждой точке прибавляется вектор.
На чертеже зелёный треугольник — перенос синего на \((3;\,2)\): каждая вершина ушла на 3 клетки вправо и на 2 вверх.
Зелёный — перенос: каждая точка сдвинута на вектор \((3;\,2)\). Красный — центральная симметрия: \(O\) — середина отрезка \(AA'\), координаты сменили знаки.
Отрезок \(AA_1\) один и тот же для всех точек: одинаковой длины и направления. Поэтому прямая переходит в параллельную ей прямую.
Чтобы найти вектор переноса, достаточно одной пары точек: из координат образа вычитаем координаты прообраза.
Точка \(A'\) симметрична \(A\) относительно центра \(O\), если \(O\) — середина отрезка \(AA'\). Относительно начала координат обе координаты меняют знак.
Красный треугольник — симметричный синему: фигура «перевернулась» через точку \(O\). Центральная симметрия — это поворот на \(180^\circ\).
Зелёный — перенос: каждая точка сдвинута на вектор \((3;\,2)\). Красный — центральная симметрия: \(O\) — середина отрезка \(AA'\), координаты сменили знаки.
Если центр не в начале координат, пользуемся тем, что он — середина \(AA'\). Отсюда \(x'=2a-x\), \(y'=2b-y\).
\(A'=(4-1;\ 2-4)=(3;\,-2)\). Проверка: середина \((1;\,4)\) и \((3;\,-2)\) — \((2;\,1)\), это и есть \(M\).
Точки симметричны относительно прямой, если эта прямая перпендикулярна отрезку \(AA'\) и проходит через его середину.
Относительно оси \(Ox\) меняет знак только \(y\), относительно \(Oy\) — только \(x\). Осевая симметрия «переворачивает» фигуру, как отражение в зеркале.
При повороте вокруг центра каждая точка поворачивается на один и тот же угол по окружности с центром в \(O\).
На \(90^\circ\) против часовой стрелки координаты меняются местами, и у новой абсциссы появляется минус. По часовой — \((x;\,y)\to(y;\,-x)\).
При повороте на \(90^\circ\) против часовой стрелки точка \((x;\,y)\) переходит в \((-y;\,x)\): \(A(3;\,1)\to A'(-1;\,3)\). Расстояние до \(O\) не меняется, угол \(AOA'\) прямой.
Проверить поворот можно векторами: длины \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OA'}\) равны, а скалярное произведение равно нулю — угол прямой.
Направление проверяем по картинке: из первой четверти точка должна уйти во вторую, если поворот против часовой.
При повороте на \(90^\circ\) против часовой стрелки точка \((x;\,y)\) переходит в \((-y;\,x)\): \(A(3;\,1)\to A'(-1;\,3)\). Расстояние до \(O\) не меняется, угол \(AOA'\) прямой.
Фигура симметрична, если при преобразовании переходит сама в себя. Центр симметрии есть у параллелограмма (точка пересечения диагоналей) и у окружности.
У равнобедренного треугольника одна ось, у квадрата четыре, у окружности — бесконечно много: любая прямая через центр.
При параллельном переносе точка \(A(-2;\,5)\) перешла в \(A'(1;\,3)\). Куда перейдёт точка \(B(4;\,0)\)?
Вектор переноса — разность координат: \((1-(-2);\ 3-5)=(3;\,-2)\). Прибавляем его к \(B\): \((7;\,-2)\).
Задания на все преобразования урока.
Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.
Главная ошибка — перепутать направление поворота. Проверка по четверти: против часовой из первой четверти точка уходит во вторую.
Ещё две: ошибиться в знаках формулы симметрии относительно точки (проверка через середину) и вычитать координаты в обратном порядке, находя вектор переноса.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.