Уравнения третьей и четвёртой степени: разложить на множители и не потерять ни одного корня.
Всё, что будет на уроке, сводится к этим трём уравнениям. Решаем устно.
Ответы: \(x^2-5x=0\) ⇔ \(x(x-5)=0\) — корни 0 и 5; \(x^2-9=0\) — корни 3 и −3; \((x-2)(x+7)=0\) — корни 2 и −7. Спросите, почему в первом нельзя «сократить на \(x\)» — к этому вопросу урок ещё вернётся.
Степень уравнения — наибольшая степень переменной в нём, когда всё перенесено в одну часть. У уравнения степени \(n\) корней не больше \(n\).
Общей «формулы дискриминанта» для третьей и четвёртой степени в школе нет. Главный метод — разложить левую часть на множители и свести к уравнениям первой и второй степени.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому, разложив левую часть, приравниваем к нулю каждый множитель.
\((x-1)(x^2-4)=0\): из первой скобки \(x=1\), из второй \(x=2\) и \(x=-2\). Три корня — как и положено уравнению третьей степени.
Если в каждом слагаемом есть \(x\), выносим его за скобку — это первый шаг, который пробуют всегда.
\(x^3-4x=x(x^2-4)\), а скобку раскладываем как разность квадратов. Каждый множитель даёт корень: \(x=0\), \(x=2\), \(x=-2\).
Делить обе части на выражение с переменной нельзя: оно может равняться нулю, и тогда вместе с ним пропадает корень.
В \(x^3=9x\) после деления на \(x\) остаются только \(\pm3\), а \(x=0\) тоже подходит: \(0=0\). Правильный путь — перенести всё в одну часть и вынести \(x\) за скобку.
После вынесения \(x\) в скобке часто остаётся квадратный трёхчлен. Решаем его как обычно — по теореме Виета или через дискриминант.
\(x^2-5x+6=0\): сумма корней 5, произведение 6 — это 2 и 3. Вместе с нулём получаем три корня: \(0;\ 2;\ 3\).
Если общего множителя у всех слагаемых нет, группируем по два: первое со вторым, третье с четвёртым — и ищем одинаковую скобку.
\(x^3-2x^2=x^2(x-2)\), \(-9x+18=-9(x-2)\). Скобка \((x-2)\) общая: \((x-2)(x^2-9)=0\). Корни \(2\), \(3\), \(-3\). Проверка для \(x=2\): \(8-8-18+18=0\).
Секрет удачной группировки — после вынесения множителя из второй пары скобка должна получиться точно такой же, как в первой. Если не совпала, проверьте знак вынесенного числа.
\(-4x-12=-4(x+3)\) — со знаком минус скобка совпала. Итог: \((x+3)(x-2)(x+2)=0\), корни \(-3;\ 2;\ -2\).
Четвёртую степень раскладывают теми же приёмами. Выносим \(x^2\), в скобке — разность квадратов.
\(x^2=0\) даёт один корень \(x=0\) (в ответ его пишут один раз), \(x^2-16=0\) — корни 4 и −4. Всего три различных корня — меньше четырёх, и это нормально.
У квадрата два противоположных корня, а у куба — один: \(2^3=8\), но \((-2)^3=-8\). Поэтому у \(x^3=8\) единственный корень \(x=2\).
Куб может равняться и отрицательному числу: \(x^3=-27\) даёт \(x=-3\). Если в кубе скобка, сначала находим её значение, потом \(x\).
В задании №20 ОГЭ такое уравнение оценивают в два балла: нужна запись разложения, а не только ответ.
Группируем: \(x^2(x+4)-4(x+4)\), общая скобка \((x+4)\), остаётся \((x+4)(x-2)(x+2)=0\). Корни \(-4\), \(-2\), \(2\). Проверка для \(x=-2\): \(-8+16+8-16=0\) — верно.
Задания по нарастающей: общий множитель, группировка, четвёртая степень. Первые три — всем, последние — тем, кто справился быстро.
Ответы для учителя: 1) \(0;\ \pm5\); 2) \(0;\ -6\); 3) \(0;\ \pm2\); 4) \(1;\ -1\) (скобка \((x-1)\) встречается дважды); 5) \(-2;\ \pm1\); 6) \(0;\ 2;\ 3\).
Главная ошибка — делить на переменную и терять корень \(x=0\). Выносим за скобку, а не делим.
Ещё две: при вынесении отрицательного числа забывают сменить знаки в скобке (проверка — раскрыть скобку обратно) и приписывают кубу два корня, как квадрату.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.