Теорема косинусов

Разминка: Пифагор и косинусы

катеты 5 и 12 → гипотенуза?
\(\cos60^\circ\) \(\cos90^\circ\) \(\cos120^\circ\)

Теорема косинусов — это Пифагор для любого треугольника. Нужны сама теорема Пифагора и косинусы главных углов.

Ответы: 13; \(\frac12\); 0; \(-\frac12\). Знак у \(\cos120^\circ\) сыграет роль уже в третьем примере.

Что спросить у класса

Для каких треугольников работает теорема Пифагора?
Какой знак у косинуса тупого угла?

1 из 13

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
квадрат стороны \(=\) сумма квадратов двух других
минус удвоенное произведение на косинус угла между ними

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Угол \(A\) лежит против стороны \(a\) — между сторонами \(b\) и \(c\). Буквы в формуле связаны именно так.

Показать классу

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\tfrac12=49\), значит \(a=7\). На чертеже масштаб честный: красная сторона ровно 7 единиц.

Что спросить у класса

Против какой стороны лежит угол A?
Между какими сторонами лежит угол A?

2 из 13

Найти третью сторону

\(b=5,\ c=8,\ \angle A=60^\circ\)
\(a^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\dfrac12=49\)
\(a=7\)

Две стороны и угол между ними — ровно тот случай, когда теорема даёт третью сторону.

\(2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=40\), \(89-40=49\), \(a=7\). На чертеже масштаб честный: красная сторона действительно 7 единиц.

Показать классу

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\tfrac12=49\), значит \(a=7\). На чертеже масштаб честный: красная сторона ровно 7 единиц.

Что спросить у класса

Чему равно 2 · 5 · 8 · cos 60°?
Каким был бы ответ при угле 90°?

3 из 13

Пифагор как частный случай

\(\angle A=90^\circ\): \(\cos A=0\)
\(a^2=b^2+c^2\)

При прямом угле косинус равен нулю, и последнее слагаемое исчезает — остаётся теорема Пифагора.

Поэтому теорема косинусов не новая формула, а её обобщение: слагаемое \(-2bc\cos A\) — поправка за то, что угол не прямой.

Что спросить у класса

Какое слагаемое исчезает при прямом угле?
Больше или меньше a, если угол острый?

4 из 13

Тупой угол

\(b=3,\ c=5,\ \angle A=120^\circ\)
\(a^2=9+25-2\cdot3\cdot5\cdot\left(-\dfrac12\right)=34+15=49\)
\(a=7\)

При тупом угле косинус отрицательный, и «минус на минус» даёт плюс: сторона против тупого угла длиннее, чем по Пифагору.

\(34+15=49\), \(a=7\). Если потерять знак, получится \(a^2=19\) — сторона против тупого угла выйдет короче, что невозможно.

Что спросить у класса

Почему знак сменился на плюс?
Какая сторона треугольника самая длинная?

5 из 13

Угол по трём сторонам

\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(a=7,\ b=5,\ c=8\): \(\cos A=\dfrac{25+64-49}{80}=\dfrac12\)
\(\angle A=60^\circ\)

Выразим косинус из теоремы. По трём сторонам находится любой угол.

Для сторон 5, 7, 8 угол против стороны 7 равен \(60^\circ\). По косинусу угол от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) определяется однозначно.

Что спросить у класса

Какую сторону вычитают в числителе?
Почему по косинусу угол единственный?

6 из 13

Острый, прямой или тупой

\(a\) — наибольшая сторона
\(b^2+c^2>a^2\) — остроугольный
\(=a^2\) — прямоугольный \(<a^2\) — тупоугольный

Знак косинуса наибольшего угла совпадает со знаком \(b^2+c^2-a^2\). Считать сам угол не нужно — достаточно сравнить.

Для сторон 4, 5, 7: \(16+25=41<49\) — треугольник тупоугольный.

Что спросить у класса

Против какой стороны лежит наибольший угол?
Каков вид треугольника 6, 8, 10?

7 из 13

Вид треугольника: пример

стороны 5, 6, 7
\(25+36=61>49\)
треугольник остроугольный

Проверяем только наибольшую сторону: если против неё угол острый, остальные углы тем более острые.

\(61>49\) — остроугольный. Для сторон 5, 12, 13 было бы равенство \(169=169\) — прямоугольный.

Что спросить у класса

Почему достаточно проверить наибольшую сторону?
Каков вид треугольника 2, 3, 4?

8 из 13

Диагонали параллелограмма

стороны 3 и 5, угол \(60^\circ\)
меньшая: \(d^2=9+25-15=19\)
большая (угол \(120^\circ\)): \(9+25+15=49\), \(d=7\)

Диагональ разбивает параллелограмм на треугольники со сторонами параллелограмма и углом между ними. Короткая диагональ лежит против острого угла, длинная — против тупого.

Меньшая диагональ \(\sqrt{19}\), большая 7. Углы параллелограмма \(60^\circ\) и \(120^\circ\) дают противоположные знаки у последнего слагаемого.

Что спросить у класса

Против какого угла лежит большая диагональ?
Чему равна сумма квадратов диагоналей?

9 из 13

Когда применять теорему

две стороны и угол между ними → третья сторона
три стороны → любой угол
угол не между сторонами — теорема синусов

Теорема косинусов нужна в двух ситуациях: известны две стороны и угол между ними, или известны все три стороны.

Если известны сторона и два угла или угол лежит не между данными сторонами, удобнее теорема синусов — о ней следующий урок.

Что спросить у класса

Какую теорему взять, если даны два угла и сторона?
Что находят по трём сторонам?

10 из 13

Задача как в ОГЭ

стороны 7, 8 и 13 — найдите больший угол
\(\cos\alpha=\dfrac{49+64-169}{2\cdot7\cdot8}=\dfrac{-56}{112}=-\dfrac12\)
\(\alpha=120^\circ\)

Больший угол лежит против большей стороны 13. Считаем его косинус.

Косинус \(-\frac12\) — угол \(120^\circ\). Отрицательный знак сразу говорил: треугольник тупоугольный.

Что спросить у класса

Против какой стороны лежит больший угол?
Что заранее говорил знак косинуса?

11 из 13

Самостоятельная работа

1) \(b=3,\ c=8,\ \angle A=60^\circ\) — \(a\)? 2) \(b=5,\ c=3,\ \angle A=120^\circ\) — \(a\)?
3) стороны 5, 12, 13 — наибольший угол? 4) стороны 3, 5, 7 — наибольший угол?
5) вид треугольника со сторонами 6, 7, 9
6) параллелограмм: стороны 5 и 8, угол \(60^\circ\) — меньшая диагональ?

Задания по нарастающей: сторона при остром и тупом угле, угол, вид треугольника, параллелограмм.

Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.

Что спросить у класса

В каком задании пригодился минус у косинуса?
Какой вывод в пятом и почему?

12 из 13

Частые ошибки

\(a^2=b^2+c^2+2bc\cos A\) ✗ — знак в формуле
\(\cos120^\circ=\dfrac12\) ✗
угол взят не между сторонами ✗

Главная ошибка — перепутать знак в формуле или у косинуса тупого угла. Проверка: сторона против тупого угла должна быть самой длинной.

Ещё одна: подставить угол, который не лежит между данными сторонами. Тогда теорема косинусов в таком виде не работает.

Что спросить у класса

Как проверить ответ, если угол тупой?
Какой угол подставляют в формулу?

13 из 13

Теорема косинусов

Разминка: Пифагор и косинусы