Теорема синусов: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, а отношение равно диаметру описанной окружности.
Теорема синусов связывает стороны с синусами углов и с окружностью, поэтому вспоминаем синусы и вписанный угол.
Ответы: \(\frac12\), \(\frac{\sqrt2}{2}\), 1, \(\frac{\sqrt3}{2}\), \(\frac12\); вписанный угол \(50^\circ\) — половина дуги.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Против большего угла лежит большая сторона — теперь это видно числами.
Общее отношение не случайно: оно равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
Сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности: \(\dfrac{c}{\sin C}=2R\). Здесь \(c=2R\sin60^\circ\).
Проведём из вершины \(C\) диаметр \(CD\). Угол \(CAD\) опирается на диаметр — он прямой. Угол \(CDA\) равен углу \(B\): оба вписанные и опираются на дугу \(CA\).
В прямоугольном треугольнике \(CAD\) катет \(CA=CD\cdot\sin D=2R\sin B\). Отсюда \(\frac{b}{\sin B}=2R\), и так для каждой стороны.
Сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности: \(\dfrac{c}{\sin C}=2R\). Здесь \(c=2R\sin60^\circ\).
Если известны два угла и сторона против одного из них, сторона против другого находится из пропорции.
\(\frac{6}{1/2}=12\) — это \(2R\). Значит \(b=12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=6\sqrt2\). Удобно сначала найти общее отношение, а потом умножать на синусы.
Если дан угол, не противолежащий известной стороне, его пару находим через сумму углов треугольника.
Углы \(A\) и \(B\) равны — треугольник равнобедренный, \(b=a=5\). Сторона против тупого угла \(c=5\sqrt3\approx8{,}66\) — самая длинная, как и должно быть.
Чтобы найти радиус описанной окружности, достаточно одной стороны и противолежащего угла.
При прямом угле \(\sin A=1\) и \(R=\frac a2\): гипотенуза — диаметр описанной окружности. Это известный факт, и теорема синусов его подтверждает.
Сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности: \(\dfrac{c}{\sin C}=2R\). Здесь \(c=2R\sin60^\circ\).
По теореме синусов можно найти синус угла. Но синус не определяет угол однозначно: \(\sin60^\circ=\sin120^\circ\).
Здесь подходят оба: при \(B=60^\circ\) угол \(C=90^\circ\), при \(B=120^\circ\) — \(C=30^\circ\). Существуют два разных треугольника с такими данными.
Второй угол отбрасывают, если он не помещается в треугольник: сумма с известным углом больше \(180^\circ\).
Ещё проще: если сторона \(b\) меньше \(a\), то и угол \(B\) меньше \(A\) — значит острый, и ответ один. Два случая возможны, только когда \(b>a\).
Площадь треугольника — половина произведения двух сторон на синус угла между ними. Высота к стороне \(a\) равна \(b\sin C\).
При угле \(150^\circ\) площадь та же, что при \(30^\circ\): синусы равны. При \(90^\circ\) получается знакомая половина произведения катетов.
Выбор теоремы решает одно: есть ли пара «сторона — противолежащий угол». Если есть, работает теорема синусов.
Если угол лежит между известными сторонами или известны три стороны — теорема косинусов. Иногда нужны обе по очереди.
В задании №16 это одна строка: сторона, делённая на удвоенный синус противолежащего угла.
При угле \(30^\circ\) радиус равен стороне — полезно запомнить. При угле \(60^\circ\) было бы \(R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\).
Задания по нарастающей: сторона, радиус, площадь, правильный треугольник.
Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.
Главная ошибка — делить сторону на синус не того угла. Проверка: буква стороны и буква угла в отношении должны совпадать.
Ещё две: забыть двойку перед \(R\) и терять второй угол с тем же синусом.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.