Вероятность и статистика

Разминка: доли и проценты

3 из 12 — какая доля?
\(\dfrac14\) — это сколько десятичной дробью?
\(0{,}3\) — сколько процентов?

Вероятность записывают дробью или десятичной дробью. Проверяем переводы устно.

Ответы: \(\frac{3}{12}=\frac14\); \(\frac14=0{,}25\); \(0{,}3=30\%\). В ответ ОГЭ пишут десятичную дробь — обыкновенную придётся переводить.

Что спросить у класса

Как перевести 7/20 в десятичную дробь?
Какая часть — 5 из 25?

1 из 13

Опыт, исходы, событие

опыт: бросаем кубик
исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6 — равновозможны
событие: «выпало чётное»

Опыт — действие со случайным результатом. Исходы — всё, что может получиться. Событие — то, вероятность чего спрашивают.

Классическая формула работает, когда исходы равновозможны: у честного кубика ни одна грань не выпадает чаще другой.

Что спросить у класса

Какие исходы у броска монеты?
Приведите пример события при броске кубика.

2 из 13

Классическая вероятность

\(P(A)=\dfrac{m}{n}\)
\(m\) — благоприятных исходов, \(n\) — всех
чётное на кубике: \(\dfrac36=0{,}5\)

Вероятность события — число благоприятных исходов, делённое на число всех равновозможных исходов.

Чётных граней у кубика три: 2, 4, 6. Всего граней шесть. Вероятность \(\frac36=0{,}5\).

Что спросить у класса

Что стоит в знаменателе формулы?
Какова вероятность выпадения пятёрки?

3 из 13

Считаем благоприятные исходы

кубик: выпадет больше 4
благоприятные: 5, 6 → \(m=2\)
\(P=\dfrac26=\dfrac13\)

Главное — аккуратно выписать благоприятные исходы. «Больше 4» — это 5 и 6, четвёрка не входит.

\(P=\frac26=\frac13\). Не всякая вероятность — «красивая» десятичная дробь: \(\frac13\) десятичной конечной дробью не записывается.

Что спросить у класса

Какие грани «не меньше 4»?
Какова вероятность, что выпадет не больше 2?

4 из 13

Шары и предметы

5 красных, 7 синих, 8 белых шаров
\(n=5+7+8=20\)
\(P(\text{синий})=\dfrac{7}{20}=0{,}35\)

Когда предметы разных видов, все исходы — это все предметы вместе. Частая ошибка — делить на число «не синих».

Всего шаров 20, синих 7. \(P=\frac{7}{20}=0{,}35\).

Что спросить у класса

Чему равна вероятность вытащить белый шар?
Какова вероятность вытащить не красный?

5 из 13

Невозможное и достоверное

\(0\le P(A)\le1\)
невозможное: \(P=0\) — «выпало 7»
достоверное: \(P=1\) — «выпало меньше 7»

Вероятность всегда между нулём и единицей. Невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное — 1.

Если в ответе получилось 1,2 или отрицательное число — ошибка в подсчёте, обычно в знаменателе.

Что спросить у класса

Может ли вероятность быть равной 1,5?
Приведите пример достоверного события.

6 из 13

Противоположное событие

\(P(\overline{A})=1-P(A)\)
не выпадет шестёрка: \(1-\dfrac16=\dfrac56\)
брак 3% → исправна: \(1-0{,}03=0{,}97\)

Противоположное событие «\(A\) не произошло» случается во всех остальных исходах. Вероятности события и противоположного в сумме дают 1.

Если батарейка бракованная с вероятностью 0,03, то исправная — с вероятностью 0,97. Считать исходы не нужно.

Что спросить у класса

Какова вероятность, что ручка пишет, если 4% ручек бракованные?
Когда удобнее считать через противоположное?

7 из 13

Две монеты

исходы: ОО, ОР, РО, РР — их 4
хотя бы один орёл: 3 из 4 → \(0{,}75\)
через противоположное: \(1-\dfrac14=0{,}75\)

При двух бросках исходов четыре, а не три: «орёл, решка» и «решка, орёл» — разные исходы. Именно так они равновозможны.

«Хотя бы один орёл» не наступает только в исходе РР, поэтому \(1-\frac14=0{,}75\).

Что спросить у класса

Какова вероятность, что выпадут один орёл и одна решка?
Почему исходов не три?

8 из 13

Относительная частота

частота \(=\dfrac{\text{сколько раз случилось}}{\text{сколько опытов}}\)
из 200 деталей 6 бракованных: \(\dfrac{6}{200}=0{,}03\)

Когда исходы не равновозможны или их не посчитать, пользуются статистикой: относительная частота — доля опытов, в которых событие произошло.

6 бракованных из 200 — частота 0,03. При большом числе опытов частота приближается к вероятности.

Что спросить у класса

Чем частота отличается от вероятности?
Что будет с частотой при очень большом числе опытов?

9 из 13

Среднее и медиана

\(3,\ 5,\ 5,\ 7,\ 10\)
среднее: \(\dfrac{30}{5}=6\) медиана: 5
мода: 5

Среднее арифметическое — сумма, делённая на количество. Медиана — число посередине упорядоченного ряда. Мода — число, которое встречается чаще всего.

Для ряда 3, 5, 5, 7, 10 среднее 6, медиана 5, мода 5. Одно большое значение сильно сдвигает среднее, но почти не трогает медиану.

Что спросить у класса

Какова медиана ряда из четырёх чисел 2, 4, 6, 8?
Что изменится, если 10 заменить на 100?

10 из 13

Задача как в ОГЭ

№10: 20 спортсменов: 8 из России, 7 из Китая, остальные из Индии
из Индии: \(20-8-7=5\)
\(P=\dfrac{5}{20}=0{,}25\)

Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из Индии.

Сначала находим, сколько спортсменов из Индии: 5. Всех 20. \(P=0{,}25\). Число спрятанных в условии «остальных» — главная ловушка задания.

Что спросить у класса

Какое число пришлось вычислить самим?
Какова вероятность, что первым выступит не спортсмен из России?

11 из 13

Самостоятельная работа

1) кубик: выпадет нечётное 2) 12 конфет, 3 шоколадные — взяли шоколадную
3) 25 билетов, 3 не выучены — попался выученный
4) лампочка бракованная с вероятностью 0,02 — исправна?
5) две монеты: оба раза орёл 6) 15 неисправных из 500 — частота

Задания разных видов: классическая вероятность, противоположное событие, две монеты, частота.

Ответы для учителя: 1) 0,5; 2) 0,25; 3) 0,88; 4) 0,98; 5) 0,25; 6) 0,03.

Что спросить у класса

В каком задании пригодилось противоположное событие?
Сколько исходов в пятом?

12 из 13

Частые ошибки

делят на «неблагоприятные», а не на все ✗
две монеты — «три исхода» ✗
вероятность больше 1 ✗

Главная ошибка — в знаменателе: делить нужно на число всех исходов, а не на число оставшихся.

Ещё две: считать исходы двух монет «два орла, две решки, по одному» — они не равновозможны; и не замечать, что ответ вышел больше единицы.

Что спросить у класса

Как проверить ответ на правдоподобие?
Сколько равновозможных исходов у броска двух монет?

13 из 13

Вероятность и статистика

Разминка: доли и проценты

Опыт, исходы, событие

Классическая вероятность

Считаем благоприятные исходы

Шары и предметы

Невозможное и достоверное

Противоположное событие

Две монеты

Относительная частота

Среднее и медиана

Задача как в ОГЭ

Самостоятельная работа

Частые ошибки

Выдайте эту тему классу домашним заданием