Квадратичная функция: как по формуле за минуту понять, куда смотрят ветви, где вершина и где парабола пересекает оси.
Весь урок строится вокруг одной функции — пусть класс сначала посчитает её руками. Пять значений устно, по цепочке.
Ответы: при \(x=0,1,2,3,4\) получаем \(y=3,\ 0,\ -1,\ 0,\ 3\). Уравнение: \(x=1\) и \(x=3\) — это те же нули, что уже видны в таблице. Спросите, что класс замечает в ряду \(3,0,-1,0,3\): он симметричен. Ради этой симметрии и нужен урок.
Квадратичной называют функцию \(y=ax^2+bx+c\), где \(a\ne0\). Если \(a=0\), квадрата не остаётся — получится линейная функция.
Коэффициенты читают вместе со знаком: в \(y=2x^2-3x+1\) коэффициент \(b=-3\), а не 3. В \(y=-x^2+5\) слагаемого с \(x\) нет, значит \(b=0\).
График любой квадратичной функции — парабола. Самая простая — \(y=x^2\): вершина в начале координат, противоположные \(x\) дают одинаковые \(y\).
На чертеже рядом ещё две: \(y=2x^2\) растёт вдвое быстрее и потому уже, а \(y=-x^2\) — та же парабола, перевёрнутая вниз.
При \(a>0\) ветви идут вверх, при \(a<0\) — вниз. Чем больше \(|a|\), тем круче ветви: синяя \(y=2x^2\) уже чёрной \(y=x^2\).
Направление ветвей решает один коэффициент — \(a\). Положительный — ветви вверх, как у улыбки. Отрицательный — вниз.
Модуль \(a\) отвечает за крутизну: у \(y=2x^2\) ветви круче, чем у \(y=x^2\), а у \(y=\tfrac12x^2\) — положе. На \(b\) и \(c\) при этом не смотрим совсем.
При \(a>0\) ветви идут вверх, при \(a<0\) — вниз. Чем больше \(|a|\), тем круче ветви: синяя \(y=2x^2\) уже чёрной \(y=x^2\).
Вершина — самая нижняя (или самая верхняя) точка параболы. Абсциссу находят по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\), а ординату — подстановкой \(x_0\) в функцию.
Для \(y=x^2-4x+3\): \(b=-4\), минус на минус даёт плюс, \(x_0=2\). Подставляем: \(y_0=2^2-4\cdot2+3=-1\). Сверьтесь с разминкой — самое маленькое значение было именно при \(x=2\).
Вершина лежит на оси симметрии \(x=2\) — ровно посередине между корнями 1 и 3. Точки \((0;\,3)\) и \((4;\,3)\) симметричны относительно этой оси.
Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину: \(x=x_0\). Точки на одинаковом расстоянии от оси имеют одинаковую высоту.
Это экономит половину работы: посчитали \(y(0)=3\) — значит и \(y(4)=3\), ведь 0 и 4 отстоят от оси \(x=2\) на две единицы. Корни тоже симметричны: 1 и 3 лежат по разные стороны от 2 на одном расстоянии.
Вершина лежит на оси симметрии \(x=2\) — ровно посередине между корнями 1 и 3. Точки \((0;\,3)\) и \((4;\,3)\) симметричны относительно этой оси.
С осью \(Oy\) парабола пересекается в точке \((0;\,c)\) — подставьте \(x=0\), и останется только \(c\). Это самая быстрая точка графика.
С осью \(Ox\) — в корнях уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Всё решает дискриминант: \(D>0\) — две точки, \(D=0\) — парабола касается оси вершиной, \(D<0\) — общих точек нет. У \(y=x^2+2x+5\) дискриминант отрицательный: парабола целиком выше оси.
Порядок построения всегда один: направление ветвей → вершина и ось → точка на \(Oy\) и симметричная ей → корни, если они есть.
Для \(y=-x^2+2x+3\): \(a=-1\), ветви вниз. \(x_0=-\frac{2}{-2}=1\), \(y_0=-1+2+3=4\). Точка \((0;\,3)\), симметричная ей \((2;\,3)\). Корни: \(-x^2+2x+3=0\) ⇔ \(x^2-2x-3=0\), откуда \(x=-1\) и \(x=3\). Пяти точек хватает, чтобы нарисовать параболу аккуратно.
Вершина — это экстремум функции. Если ветви вверх, ниже вершины парабола не опускается: \(y_0\) — наименьшее значение, а наибольшего нет. Если ветви вниз — наоборот.
Ответ на вопрос «найдите наибольшее значение» — это \(y_0\), а не \(x_0\). У \(y=-x^2+2x+3\) наибольшее значение \(4\), и достигается оно при \(x=1\). Там же меняется характер функции: левее вершины она возрастает, правее — убывает.
В задании №11 ОГЭ дают графики и спрашивают знаки коэффициентов или просят сопоставить графики с формулами. Работает всё, что мы разобрали.
Знак \(a\) — по ветвям. Знак \(c\) — по точке пересечения с осью \(Oy\): выше начала координат \(c>0\), ниже \(c<0\), через начало \(c=0\). Если нужно отличить \(y=x^2+2\) от \(y=x^2-2x\), смотрим на вершину: у первой \((0;\,2)\), у второй \((1;\,-1)\).
Задания идут по нарастающей: коэффициент, вершина, оси, экстремум. Первые три — всем, последние — тем, кто справился быстро.
Ответы для учителя: 1) вниз; 2) \((3;\,-4)\); 3) \((0;\,-7)\); 4) \(x=-3\) и \(x=2\); 5) \(-3\) при \(x=-2\); 6) \(4\) при \(x=3\).
Самая частая ошибка — потерять минус в \(x_0=-\frac{b}{2a}\): вершина уезжает в зеркальную сторону. Проверка простая: вершина должна лежать посередине между корнями.
Ещё две: принять \(c\) за ординату вершины (\(c\) — это точка на оси \(Oy\)) и в ответ о наибольшем значении написать \(x_0\) вместо \(y_0\).
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.