Дробно-рациональные уравнения: избавиться от знаменателя и проверить, не превратился ли какой-то корень в запрещённое значение.
Всё решение дробного уравнения держится на двух вещах: запрещённых значениях и пропорции. Проверяем обе устно.
Ответы: \(x=3\); \(x=\pm2\); третья дробь существует при любом \(x\), ведь \(x^2+1>0\). Уравнение: \(x\cdot1=2\cdot4\), \(x=8\).
Дробно-рациональным называют уравнение, в котором переменная стоит в знаменателе. Уравнение \(\frac{x}{3}=2\) не дробное: там в знаменателе число.
Первым делом выписывают область допустимых значений — все \(x\), при которых знаменатели не равны нулю. Корень, попавший в запрет, в ответ не идёт.
Умножаем обе части на знаменатель — дробь исчезает. Правую часть умножаем целиком, отсюда скобка \(3(x-1)\).
\(x+2=3x-3\), \(2x=5\), \(x=2{,}5\). Сверяемся с запретом \(x\ne1\) — корень подходит. Проверка: \(\frac{4{,}5}{1{,}5}=3\).
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Оба условия записывают вместе.
Числитель \(x^2-9\) обнуляется при \(x=3\) и \(x=-3\), но при \(x=-3\) обнуляется и знаменатель — там дробь не существует. Остаётся \(x=3\).
Если слева и справа по одной дроби, пользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних равно произведению средних.
\(3(x+1)=2(x-2)\), откуда \(x=-7\). Запреты \(x\ne2\) и \(x\ne-1\) корень не нарушает. Проверка: \(\frac{3}{-9}=-\frac13\) и \(\frac{2}{-6}=-\frac13\).
Умножаем на знаменатель каждое слагаемое, включая те, где дроби нет. Часто получается квадратное уравнение.
\(x\cdot x+\frac6x\cdot x=5x\), то есть \(x^2+6=5x\). Корни 2 и 3, оба не равны нулю — подходят. Проверка \(x=2\): \(2+3=5\).
После умножения на знаменатель уравнение «забывает» о запрете, и среди корней может оказаться запрещённое значение. Такой корень называют посторонним.
У \(x^2=4\) корни \(\pm2\), но \(x=2\) обнуляет знаменатель исходного уравнения. Отбрасываем его и пишут почему. Остаётся \(x=-2\).
Сначала раскладываем знаменатели: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Это и есть общий знаменатель, а заодно видно, что запрещены \(x=1\) и \(x=-1\).
Умножаем обе части на \((x-1)(x+1)\): \(x(x+1)-2(x-1)=4\), \(x^2-x-2=0\). Корни 2 и −1, но \(-1\) запрещено. Ответ: \(x=2\).
Корень подставляют в исходное уравнение, а не в то, что получилось после преобразований: ошибка обычно прячется как раз в преобразованиях.
Для прошлого примера при \(x=2\) слева \(2-\frac23=\frac43\), справа \(\frac43\). Совпало — корень найден верно.
В задании №20 за такое уравнение дают два балла, если видно ОДЗ, умножение на общий знаменатель и отбор корней.
\(5x-8x+24=3x^2-9x\), то есть \(3x^2-6x-24=0\), делим на 3: \(x^2-2x-8=0\). Корни 4 и −2, запреты не нарушают. Проверка \(x=4\): \(5-2=3\).
Задания по нарастающей: дробь равна числу, дробь равна нулю, пропорция, квадратное, посторонние корни.
Ответы для учителя: 1) \(5\); 2) \(-4\); 3) \(-7\); 4) \(-3;\ 4\); 5) \(0\) (\(x=5\) посторонний); 6) корней нет — получается \(x^2=4\), а оба значения \(\pm2\) запрещены.
Главная ошибка — забыть о запретах и записать в ответ корень, который обнуляет знаменатель. На экзамене это минус балл при верном ходе решения.
Ещё две: умножить на знаменатель не все слагаемые и приравнять к нулю знаменатель вместо числителя.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.