Весь урок держится на двух суммах и простом делении. Устно за минуту.
Ответы: \(180^\circ\), \(360^\circ\), \(60^\circ\), \(60^\circ\). Спросите, почему сумма углов четырёхугольника вдвое больше, — ответ приведёт к формуле для любого многоугольника.
Многоугольник правильный, если у него равны все стороны и все углы. Одного условия мало: у ромба стороны равны, а углы нет; у прямоугольника углы равны, а стороны нет.
Правильный треугольник — равносторонний, правильный четырёхугольник — квадрат.
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
Из одной вершины \(n\)-угольника проведём все диагонали: получится \(n-2\) треугольника. Сумма углов многоугольника — сумма углов этих треугольников.
Пятиугольник делится на три треугольника — \(540^\circ\). Формула верна для любого выпуклого многоугольника, не только правильного.
У правильного многоугольника все углы равны, поэтому один угол — сумма, делённая на число углов.
Шестиугольник: \(120^\circ\), восьмиугольник: \(\frac{6\cdot180^\circ}{8}=135^\circ\). Чем больше сторон, тем ближе угол к \(180^\circ\) и многоугольник — к окружности.
Внешний угол дополняет внутренний до \(180^\circ\). Если обойти многоугольник, поворачиваясь в каждой вершине на внешний угол, сделаем полный оборот — сумма внешних углов \(360^\circ\).
Поэтому у правильного \(n\)-угольника внешний угол \(\frac{360^\circ}{n}\). Столько же и центральный угол — на чертеже у шестиугольника это \(60^\circ\).
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
По внутреннему углу число сторон быстрее всего найти через внешний угол.
\(180^\circ-140^\circ=40^\circ\), \(360:40=9\) — правильный девятиугольник. Если деление нацело не выходит, такого правильного многоугольника нет: угол \(100^\circ\) даёт \(360:80=4{,}5\).
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.