Правильные многоугольники: сумма углов, угол одного многоугольника, внешний угол и окружности вокруг и внутри.
Весь урок держится на двух суммах и простом делении. Устно за минуту.
Ответы: \(180^\circ\), \(360^\circ\), \(60^\circ\), \(60^\circ\). Спросите, почему сумма углов четырёхугольника вдвое больше, — ответ приведёт к формуле для любого многоугольника.
Многоугольник правильный, если у него равны все стороны и все углы. Одного условия мало: у ромба стороны равны, а углы нет; у прямоугольника углы равны, а стороны нет.
Правильный треугольник — равносторонний, правильный четырёхугольник — квадрат.
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
Из одной вершины \(n\)-угольника проведём все диагонали: получится \(n-2\) треугольника. Сумма углов многоугольника — сумма углов этих треугольников.
Пятиугольник делится на три треугольника — \(540^\circ\). Формула верна для любого выпуклого многоугольника, не только правильного.
У правильного многоугольника все углы равны, поэтому один угол — сумма, делённая на число углов.
Шестиугольник: \(120^\circ\), восьмиугольник: \(\frac{6\cdot180^\circ}{8}=135^\circ\). Чем больше сторон, тем ближе угол к \(180^\circ\) и многоугольник — к окружности.
Внешний угол дополняет внутренний до \(180^\circ\). Если обойти многоугольник, поворачиваясь в каждой вершине на внешний угол, сделаем полный оборот — сумма внешних углов \(360^\circ\).
Поэтому у правильного \(n\)-угольника внешний угол \(\frac{360^\circ}{n}\). Столько же и центральный угол — на чертеже у шестиугольника это \(60^\circ\).
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
По внутреннему углу число сторон быстрее всего найти через внешний угол.
\(180^\circ-140^\circ=40^\circ\), \(360:40=9\) — правильный девятиугольник. Если деление нацело не выходит, такого правильного многоугольника нет: угол \(100^\circ\) даёт \(360:80=4{,}5\).
Все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности — описанной. А все стороны касаются другой, меньшей окружности — вписанной.
Центр у них общий, его называют центром многоугольника. Радиус описанной окружности обозначают \(R\), вписанной — \(r\).
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
Шестиугольник — особый случай. Центральный угол \(60^\circ\), обе стороны треугольника из центра равны \(R\), значит треугольник равносторонний и \(a=R\).
Весь шестиугольник складывается из шести таких треугольников: его площадь — шесть площадей равностороннего треугольника со стороной \(a\).
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
Вписанная окружность квадрата касается сторон, её диаметр равен стороне: \(r=\frac a2\). Описанная проходит через вершины, её диаметр — диагональ: \(R=\frac{a\sqrt2}{2}\).
При \(a=6\): \(r=3\), \(R=3\sqrt2\). И обратно: квадрат, вписанный в окружность радиуса \(5\sqrt2\), имеет диагональ \(10\sqrt2\) и сторону 10.
В задании №17 спрашивают угол правильного многоугольника или число его сторон. Самый короткий путь — через внешний угол.
При \(150^\circ\) внешний угол \(30^\circ\), сторон 12. Десятиугольник: внешний угол \(36^\circ\), внутренний \(180^\circ-36^\circ=144^\circ\).
Задания по нарастающей: сумма, угол, внешний угол, обратная задача, окружности.
Ответы для учителя: 1) \(900^\circ\); 2) \(108^\circ\); 3) \(30^\circ\); 4) 18; 5) 7; 6) 10.
Главная ошибка — забыть «минус два» в сумме углов. Проверка на треугольнике: \(3\cdot180^\circ=540^\circ\) — явно не то.
Ещё две: округлять дробное число сторон вместо ответа «такого многоугольника нет» и путать радиусы описанной и вписанной окружностей.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.