Округление, прикидка и стандартный вид числа: как работать с приближёнными значениями и не терять точность.
Округлять можно только тогда, когда уверенно называешь разряды. Две минуты устно — и путаница «до десятых или до десятков» уходит.
Ответы: в \(3{,}1416\) десятые — 1, сотые — 4, тысячные — 1. В \(48\,372\) разряд сотен — 3, тысяч — 8. Обратите внимание класса: «десятые» — после запятой, «десятки» — до неё.
Точное значение часто нельзя записать конечной дробью (\(\pi\), \(\sqrt2\)) или оно просто не нужно: рост меряют до сантиметра, население — до миллиона.
Знак \(\approx\) читается «приближённо равно». Приближённое значение бывает с недостатком (\(3{,}14<\pi\)) и с избытком (\(3{,}15>\pi\)).
Смотрим только на одну цифру — ту, что стоит сразу за разрядом, до которого округляем. Если она 0, 1, 2, 3 или 4 — последнюю оставленную цифру не меняем. Если 5–9 — увеличиваем на единицу.
\(2{,}347\) до сотых: за сотыми стоит 7, значит \(2{,}35\). \(2{,}343\) до сотых: стоит 3, значит \(2{,}34\). Остальные цифры отбрасываем.
У целых чисел отброшенные разряды не исчезают, а заменяются нулями — иначе число станет в сотни раз меньше.
До тысяч: за тысячами стоит 3, округляем вниз — \(48\,000\). До сотен: стоит 7, вверх — \(48\,400\). Одно и то же число, округлённое до разных разрядов, даёт разные приближения — поэтому разряд всегда называют.
Если округляемая цифра 9 и её нужно увеличить, она превращается в 0, а единица переходит в старший разряд — как при сложении столбиком.
\(3{,}97\) до десятых — это \(4{,}0\), а не \(4\): нуль показывает, что число известно с точностью до десятых. Так же \(0{,}996\approx1{,}00\) до сотых.
Абсолютная погрешность — модуль разности между точным значением и приближённым. Модуль нужен, чтобы погрешность не была отрицательной.
Для \(2{,}347\approx2{,}35\) погрешность \(0{,}003\). При округлении до сотых погрешность никогда не превышает половины сотой, \(0{,}005\).
Прикидка — это грубое округление перед вычислением, чтобы знать, какого порядка должен быть ответ. Она ловит пропущенную запятую и лишний нуль быстрее любой проверки.
\(49{,}8\cdot20{,}3\) — около тысячи. Если в тетради получилось \(101{,}094\), ошибка в запятой видна сразу: точный ответ \(1010{,}94\).
В заданиях №7 и №8 ОГЭ просят отметить корень на прямой или сравнить его с числом. Приём один: зажать подкоренное число между соседними квадратами.
\(25<30<36\), значит \(5<\sqrt{30}<6\). Чтобы понять, к какому концу ближе, возведите в квадрат середину: \(5{,}5^2=30{,}25\), это больше 30 — значит \(\sqrt{30}<5{,}5\), корень ближе к 5.
Очень большие и очень маленькие числа записывают в стандартном виде: \(a\cdot10^n\), где \(1\le a<10\), а \(n\) — целое число (порядок).
\(45\,000\): запятую переносим на 4 знака влево — \(4{,}5\cdot10^4\). \(0{,}0032\): переносим на 3 знака вправо — \(3{,}2\cdot10^{-3}\). Число меньше единицы — порядок отрицательный.
Множители считают отдельно: числа с числами, степени десятки — со степенями. При умножении показатели складывают, при делении вычитают.
\(3\cdot2=6\), \(10^4\cdot10^{-2}=10^2\) — итог \(6\cdot10^2=600\). \(4{,}8:1{,}2=4\), \(10^5:10^3=10^2\) — итог \(4\cdot10^2\). Если множитель вышел за 10, сдвигаем запятую: \(12\cdot10^3=1{,}2\cdot10^4\).
Расстояние от Земли до Солнца около \(1{,}5\cdot10^8\) км, скорость света \(3\cdot10^5\) км/с. За сколько секунд свет доходит до Земли?
Время — путь на скорость: \(\frac{1{,}5}{3}=0{,}5\), \(10^8:10^5=10^3\), итого \(0{,}5\cdot10^3=500\) секунд — чуть больше восьми минут. Прикидка подтверждает: сто пятьдесят миллионов на триста тысяч — около пятисот.
Задания по нарастающей: правило, целые числа, переход девяток, корень, стандартный вид, действия.
Ответы для учителя: 1) \(5{,}7\); 2) \(73\,000\); 3) \(3{,}00\); 4) между 8 и 9; 5) \(4{,}7\cdot10^{-4}\); 6) \(30\cdot10^2=3\cdot10^3=3000\).
Главная ошибка — округлять по цепочке, цифра за цифрой. Смотрят только на одну цифру сразу за нужным разрядом: у \(2{,}3449\) это 4, значит \(2{,}34\).
Ещё две: потерять нуль после перехода девяток и оставить в стандартном виде множитель больше 10 или меньше 1.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.