Числовые последовательности: формула n-го члена, рекуррентная формула и поиск номера по значению.
Класс легко угадывает следующее число — а урок о том, как записать правило так, чтобы найти не пятый, а сотый член.
Ответы: 14 (прибавляем 3), 25 (квадраты), 48 (умножаем на 2). Спросите, какой будет сотый член первого ряда, — угадыванием уже не обойтись.
Числовая последовательность — числа, записанные по порядку, где у каждого есть номер. Член с номером \(n\) обозначают \(a_n\).
Номер — всегда натуральное число: первый, второй, третий. Нулевого, отрицательного или «два с половиной»-того члена не бывает.
Формула \(n\)-го члена позволяет сразу найти член по номеру — без вычисления всех предыдущих.
\(a_n=2n+1\): подставляем номер вместо \(n\). \(a_1=2\cdot1+1=3\), \(a_5=11\), \(a_{10}=21\). Хоть тысячный: \(a_{1000}=2001\).
Формула может быть любой. Порядок действий при подстановке обычный: сначала степень, потом вычитание.
\(a_3=3^2-3=6\), \(a_4=16-4=12\). Такая последовательность не прогрессия: разности 2, 4, 6 растут.
Рекуррентная формула задаёт первый член и правило перехода от члена к следующему. Чтобы найти десятый член, придётся пройти девять шагов.
\(a_{n+1}=a_n+3\) читается «следующий член равен предыдущему плюс три». Запись \(a_{n+1}\) — член с номером \(n+1\), а не \(a_n\) плюс единица.
Правило перехода может включать и умножение. Считаем по цепочке, каждый раз подставляя только что найденный член.
\(a_2=2\cdot1+1=3\), \(a_3=2\cdot3+1=7\), \(a_4=15\), \(a_5=31\). Внимательный ученик заметит: это числа на единицу меньше степеней двойки.
Чтобы проверить, есть ли число в последовательности, приравниваем формулу к этому числу и решаем уравнение относительно \(n\).
Если \(n\) получилось натуральным — число является членом, и \(n\) — его номер. Если дробным или отрицательным — не является: 100 — тридцать четвёртый член, а 101 в последовательности нет.
Вопрос «сколько членов больше нуля» сводится к неравенству относительно \(n\).
\(50-4n>0\) ⇔ \(n<12{,}5\). Натуральных \(n\) меньше 12,5 ровно двенадцать: от 1 до 12. Проверка: \(a_{12}=2>0\), а \(a_{13}=-2\).
Последовательность возрастающая, если каждый следующий член больше предыдущего, и убывающая — если меньше.
\(a_n=3n-2\) возрастает: 1, 4, 7, … . \(a_n=\frac1n\) убывает: \(1,\ \frac12,\ \frac13,\ \dots\). А \(a_n=(-1)^n\) скачет: −1, 1, −1 — ни то, ни другое.
Каждый вариант проверяем уравнением. \(n^2-1=1\) даёт \(n^2=2\) — не натуральное. \(n^2=3\), \(n^2=5\) — тоже нет.
А \(n^2-1=3\) даёт \(n^2=4\), \(n=2\): число 3 — второй член. Отрицательный корень \(n=-2\) не нужен — номер натуральный.
Задания по нарастающей: формула, рекуррентная формула, номер, неравенство.
Ответы для учителя: 1) 32; 2) 20; 3) \(-5\); 4) 54; 5) \(n=11\); 6) 12 (при \(n\le12\)).
Главная ошибка — путать номер и значение: \(a_{n+1}\) — это член со следующим номером, а не член плюс единица.
Ещё две: принимать дробный или нулевой номер и отвечать границей неравенства вместо количества натуральных номеров.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.