Системы, где одно уравнение второй степени: подстановка, сумма и произведение, и что это значит на графике.
Системы с квадратом решают теми же способами, что линейные. Вспоминаем сложение и подстановку.
Ответы: сложив уравнения, \(2x=6\), \(x=3\), \(y=2\) — пара \((3;\,2)\). Из \(2x+y=7\) получаем \(y=7-2x\). Спросите, какой способ удобнее, если одно уравнение с квадратом, — ответ: подстановка.
В такой системе хотя бы одно уравнение второй степени: есть \(x^2\), \(y^2\) или \(xy\). Решение — пара чисел, которая подходит в оба уравнения.
У линейной системы решение обычно одно, здесь пар может быть несколько. Потерять одну из них — частая причина потери балла.
Выражаем одну переменную из линейного уравнения и подставляем во второе. Получается уравнение с одной переменной — обычно квадратное.
Здесь \(y\) уже выражен: \(x^2=x+2\), корни 2 и −1. Для каждого \(x\) находим \(y\) из линейного уравнения: \(y=4\) и \(y=1\). Две пары.
Каждое решение системы — точка, общая для обоих графиков. Здесь их две, поэтому и пар в ответе две: \((-1;\,1)\) и \((2;\,4)\).
Каждое уравнение системы задаёт линию, решение — общая точка линий. Парабола \(y=x^2\) и прямая \(y=x+2\) пересекаются в двух точках — отсюда две пары.
Прямая может касаться параболы (одно решение) или проходить мимо (решений нет). Графический способ даёт картинку, но не точность: координаты находят алгебраически.
Каждое решение системы — точка, общая для обоих графиков. Здесь их две, поэтому и пар в ответе две: \((-1;\,1)\) и \((2;\,4)\).
Из линейного уравнения выражаем ту переменную, где коэффициент 1: \(x=y+1\). Подставляем в квадратное и раскрываем квадрат суммы.
\(y^2+2y+1+y^2=13\), \(2y^2+2y-12=0\), делим на 2: \(y^2+y-6=0\). \(y=2\) даёт \(x=3\), \(y=-3\) даёт \(x=-2\). Проверка: \(9+4=13\) и \(4+9=13\).
Если известны сумма и произведение, числа \(x\) и \(y\) — корни квадратного уравнения \(t^2-(x+y)t+xy=0\). Это обратная теорема Виета.
\(t^2-7t+12=0\): корни 3 и 4. Пары две — \((3;\,4)\) и \((4;\,3)\): переставленная пара тоже решение.
Сумму квадратов связывают с суммой через формулу квадрата суммы: \((x+y)^2=x^2+y^2+2xy\). Отсюда находится произведение.
\(36=20+2xy\), \(xy=8\). Теперь это система «сумма и произведение»: \(t^2-6t+8=0\), корни 2 и 4. Проверка: \(4+16=20\).
С разностью теорема Виета напрямую не работает — возвращаемся к подстановке.
\(y^2+2y-15=0\), корни 3 и −5. При \(y=3\) \(x=5\), при \(y=-5\) \(x=-3\). Отрицательная пара тоже решение: \((-3)\cdot(-5)=15\), \(-3-(-5)=2\).
В паре на первом месте всегда \(x\). Если выражали \(x\) через \(y\), легко записать пару наоборот — проверяйте порядок.
Вторую переменную находят из линейного уравнения: из квадратного она может дать лишние значения. Например, в системе \(x-y=1\), \(x^2+y^2=13\) при \(x=3\) из второго уравнения \(y=\pm2\), но пара \((3;\,-2)\) не подходит в первое.
В задании №20 за систему дают два балла, если видна подстановка, решение квадратного уравнения и обе пары в ответе.
\(x^2+3-x=5\), \(x^2-x-2=0\), корни 2 и −1. \(y=3-2=1\) и \(y=3+1=4\). Проверка: \(4+1=5\) и \(1+4=5\).
Задания по нарастающей: подстановка, сумма и произведение, разность, сумма квадратов.
Ответы для учителя: 1) \((0;\,0),\ (2;\,4)\); 2) \((2;\,3),\ (3;\,2)\); 3) \((5;\,2),\ (-2;\,-5)\); 4) \((1;\,3),\ (3;\,1)\); 5) \((2;\,1),\ (-1;\,-2)\); 6) \((3;\,4),\ (4;\,3)\).
Главная ошибка — возвести сумму в квадрат без удвоенного произведения. Проверка числом: \((1+2)^2=9\), а \(1^2+2^2=5\).
Ещё две: записать в ответ только одну пару и находить вторую переменную из квадратного уравнения, получая пары, которые не подходят в линейное.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.