Таблицу стоит помнить. Подсказка: синусы \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) — это
\(\frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}\), а косинусы идут в обратном порядке.
Значения следуют из двух треугольников: половины равностороннего
(углы \(30^\circ\) и \(60^\circ\)) и половины квадрата (\(45^\circ\)).
Что спросить у класса
Чему равен cos 30°?
Из какого треугольника получается 45°?
4 из 13
Единичная полуокружность
точка \(P\) на полуокружности радиуса 1 \(P(\cos\alpha;\ \sin\alpha)\), \(0^\circ\le\alpha\le180^\circ\)
Чтобы говорить о синусе тупого угла, треугольника мало. Возьмём полуокружность
радиуса 1 с центром в начале координат и отложим угол \(\alpha\) от положительной
полуоси \(Ox\).
Координаты полученной точки и называют косинусом и синусом угла. Для острых
углов это совпадает с определением через треугольник.
Показать классу
Координаты точки \(P\) на полуокружности радиуса 1 — это \((\cos\alpha;\,\sin\alpha)\).
При тупом угле точка левее оси \(Oy\), поэтому косинус отрицательный, а синус остаётся положительным.
Точка на верхней полуокружности всегда выше оси \(Ox\) — синус от \(0^\circ\)
до \(180^\circ\) неотрицателен. А для тупых углов точка левее оси \(Oy\) — косинус отрицателен.
На чертеже \(\alpha=120^\circ\): абсцисса \(-\frac12\), ордината \(\frac{\sqrt3}{2}\).
Показать классу
Координаты точки \(P\) на полуокружности радиуса 1 — это \((\cos\alpha;\,\sin\alpha)\).
При тупом угле точка левее оси \(Oy\), поэтому косинус отрицательный, а синус остаётся положительным.
Что спросить у класса
Какой знак у косинуса 150°?
Может ли синус угла треугольника быть отрицательным?
Точка \((\cos\alpha;\,\sin\alpha)\) лежит на окружности радиуса 1, поэтому
\(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) — это теорема Пифагора.
По одному значению находим другое, но знак косинуса решает угол: для тупого
угла берём минус. Синус угла треугольника всегда положительный.
Что спросить у класса
Откуда берётся основное тождество?
Как выбрать знак косинуса?
8 из 13
Тангенс любого угла
\(\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) \(\text{tg}\,120^\circ=\dfrac{\sqrt3/2}{-1/2}=-\sqrt3\) \(\text{tg}\,90^\circ\) не существует
Тангенс — отношение синуса к косинусу. У тупых углов он отрицательный,
потому что косинус отрицательный.
При \(90^\circ\) косинус равен нулю, и тангенс не определён — делить на ноль нельзя.
Что спросить у класса
Какой знак у тангенса 150°?
Почему tg 90° не существует?
9 из 13
Найти угол по значению
\(\sin\alpha=\dfrac12\): \(\alpha=30^\circ\) или \(150^\circ\) \(\cos\alpha=-\dfrac12\): \(\alpha=120^\circ\)
На промежутке от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) синус принимает одно значение
дважды: в \(\alpha\) и в \(180^\circ-\alpha\). Поэтому по синусу угол определяется
не однозначно.
А косинус меняется от 1 до −1 без повторов: по косинусу угол находится однозначно.
В задачах про треугольник это важно — второй угол может тоже подойти.
Задания по нарастающей: треугольник, тупые углы, тождество, обратная задача.
Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.
Что спросить у класса
Почему в четвёртом минус?
Сколько углов подходит в шестом?
12 из 13
Частые ошибки
\(\cos120^\circ=\dfrac12\) ✗ — знак \(\sin\alpha=\dfrac12\) → только \(30^\circ\) ✗ \(\sin\alpha=1{,}2\) ✗ — синус не больше 1
Главная ошибка — забыть, что косинус тупого угла отрицательный. Проверка по
полуокружности: точка слева от оси — абсцисса со знаком минус.
Ещё две: терять второй угол с тем же синусом и получать синус больше единицы
из-за перепутанных сторон.
Что спросить у класса
Как по картинке проверить знак косинуса?
В каких границах лежат синус и косинус?
13 из 13
После урока
Учитель? Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.