Векторы: направленный отрезок, координаты и длина, сложение и скалярное произведение.
Длина вектора считается теоремой Пифагора, поэтому начинаем с неё.
Ответы: гипотенуза 5. Между точками по \(x\) разница 3, по \(y\) — 4, расстояние снова 5. Попросите показать эти катеты на клетчатой доске.
Вектор — отрезок, у которого указано, какой конец начало, а какой конец. На чертеже это стрелка из \(A\) в \(B\), записывают \(\overrightarrow{AB}\) или одной буквой \(\vec a\).
Вектор описывает перемещение: не только «насколько», но и «куда». Вектор \(\overrightarrow{BA}\) — то же перемещение в обратную сторону.
Из A в B: на 3 клетки вправо и на 2 вверх — координаты вектора \(\overrightarrow{AB}=(3;\,2)\). Длина — гипотенуза: \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\).
Векторы равны, если они направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину. Где вектор начинается — неважно: его можно переносить параллельно.
Нулевой вектор — точка: начало и конец совпадают. Его длина 0, а направления нет.
Координаты вектора — насколько сдвинулись по \(x\) и по \(y\): из координат конца вычитаем координаты начала.
\(4-1=3\), \(3-1=2\). На клетках это видно: три вправо, два вверх. Отрицательная координата означает движение влево или вниз.
Из A в B: на 3 клетки вправо и на 2 вверх — координаты вектора \(\overrightarrow{AB}=(3;\,2)\). Длина — гипотенуза: \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\).
Координаты вектора — катеты прямоугольного треугольника, длина — гипотенуза. Отсюда \(|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}\).
Знак координаты на длину не влияет: квадрат убирает минус. У \((-6;\,8)\) длина 10.
Из A в B: на 3 клетки вправо и на 2 вверх — координаты вектора \(\overrightarrow{AB}=(3;\,2)\). Длина — гипотенуза: \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\).
Сложить векторы — выполнить два перемещения подряд. Прикладываем начало второго к концу первого; сумма ведёт из начала первого в конец второго.
Для точек это читается легко: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Если отложить векторы из одной точки, сумма — диагональ параллелограмма.
К концу вектора \(\vec a\) приложили \(\vec b\) — сумма идёт из начала \(\vec a\) в конец \(\vec b\). Пунктир показывает путь в другом порядке: сумма та же, это диагональ параллелограмма.
В координатах складывают и вычитают покоординатно: \(x\) с \(x\), \(y\) с \(y\).
На чертеже \(\vec a=(3;\,1)\), \(\vec b=(1;\,2)\), сумма \((4;\,3)\) — ровно туда указывает красная стрелка.
К концу вектора \(\vec a\) приложили \(\vec b\) — сумма идёт из начала \(\vec a\) в конец \(\vec b\). Пунктир показывает путь в другом порядке: сумма та же, это диагональ параллелограмма.
При умножении на \(k\) каждая координата умножается на \(k\). Длина становится в \(|k|\) раз больше, при \(k<0\) направление меняется на противоположное.
Векторы \(\vec a\) и \(k\vec a\) лежат на параллельных прямых — их называют коллинеарными. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.
Скалярное произведение — это число, а не вектор: сумма произведений соответствующих координат.
Геометрически оно равно произведению длин на косинус угла между векторами. Отсюда можно находить угол: \(\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}\).
Косинус прямого угла равен нулю, поэтому ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Удобный приём: переставьте координаты и смените знак у одной — \((2;\,3)\) и \((3;\,-2)\) всегда перпендикулярны.
Найдите длину вектора \(\vec a+\vec b\). Сначала складываем покоординатно, потом берём длину.
Складывать длины нельзя: \(|\vec a|+|\vec b|=\sqrt{29}+\sqrt2\approx6{,}8\), а длина суммы 5. Сумма длин равна длине суммы, только если векторы сонаправлены.
Задания по нарастающей: координаты, длина, действия, скалярное произведение, перпендикулярность.
Ответы для учителя: 1) \((3;\,4)\); 2) 10; 3) \((3;\,3)\); 4) \((5;\,-7)\); 5) 2; 6) \(k=4\) (\(3k-12=0\)).
Главная ошибка — вычитать координаты конца из координат начала: получается противоположный вектор. Проверка по чертежу: вектор вправо — \(x\) положительный.
Ещё две: складывать координаты вместо Пифагора при поиске длины и записывать скалярное произведение в скобках, как вектор.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.