Текстовые задачи на движение, работу и смеси: одна неизвестная, таблица величин и честный отбор корней.
Разминка: три формулы
60 км/ч, 3 ч → путь? работа за 6 ч → какая часть за 1 ч? 20% от 150 → ?
Все задачи урока держатся на трёх связях: путь — скорость на время,
производительность — работа на время, часть вещества — процент от массы.
Ответы: 180 км; \(\frac16\) работы; 30. Спросите класс, как из \(S=vt\)
выразить время — это понадобится в каждой задаче на движение.
Что спросить у класса
Как выразить время из формулы пути?
Что значит «производительность»?
1 из 12
План решения
1) \(x\) — что обозначили 2) таблица величин 3) уравнение по условию 4) решение и отбор 5) ответ на вопрос задачи
Текстовая задача решается одним и тем же маршрутом. Обозначаем за \(x\)
величину, через которую удобно выразить остальные, и записываем это словами
с единицами.
Таблица «скорость — время — путь» или «производительность — время — работа»
не даёт запутаться. Уравнение ищут во фразе, где что-то сравнивается:
«на час раньше», «вместе за 6 часов».
Что спросить у класса
Где в условии прячется уравнение?
Зачем записывать, что обозначено за x?
2 из 12
Движение: быстрее на 5
60 км; при \(v+5\) — на 1 ч раньше \(\dfrac{60}{x}-\dfrac{60}{x+5}=1\)
Велосипедист проехал 60 км. Если бы его скорость была на 5 км/ч больше,
он приехал бы на час раньше. Найдите скорость.
Пусть \(x\) км/ч — скорость, \(x>0\). Время с настоящей скоростью \(\frac{60}{x}\),
с большей — \(\frac{60}{x+5}\). Второе на час меньше: из большего вычитаем меньшее
и получаем 1.
Умножаем на \(x(x+5)\): \(300=x^2+5x\). Дискриминант \(25+1200=1225\),
корни \(15\) и \(-20\). Скорость не бывает отрицательной — \(-20\) отбрасываем
с пояснением.
Проверка по условию, словами: со скоростью 15 км/ч дорога заняла 4 часа,
со скоростью 20 км/ч — 3 часа. На час меньше — верно.
Что спросить у класса
Почему −20 не подходит?
Как проверить ответ по условию, а не по уравнению?
4 из 12
Движение навстречу
300 км, скорости \(x\) и \(x+10\), встреча через 3 ч \(3(x+x+10)=300\) → \(x=45\) ответ: 45 и 55 км/ч
При движении навстречу расстояние сокращается со скоростью сближения —
суммой скоростей.
Из двух городов, между которыми 300 км, выехали навстречу две машины; одна
быстрее другой на 10 км/ч, встретились через 3 часа. \(3(2x+10)=300\),
\(2x+10=100\), \(x=45\). Спрашивали обе скорости: 45 и 55 км/ч.
Что спросить у класса
Что такое скорость сближения?
Как изменится уравнение при движении вдогонку?
5 из 12
Движение по реке
по течению \(x+2\), против \(x-2\) \(\dfrac{16}{x+2}+\dfrac{16}{x-2}=6\) \(3x^2-16x-12=0\) → \(x=6\)
Лодка прошла 16 км по течению и 16 км против течения за 6 часов. Скорость
течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
По смыслу \(x>2\). Умножаем на \(x^2-4\): \(32x=6x^2-24\), делим на 2:
\(3x^2-16x-12=0\), \(D=400\), корни \(6\) и \(-\frac23\). Подходит 6 км/ч.
Проверка: \(16:8=2\) ч и \(16:4=4\) ч, всего 6.
Что спросить у класса
Почему по смыслу x > 2?
Какая скорость больше: по течению или против?
6 из 12
Работа и производительность
вся работа \(=1\) производительность \(=\dfrac{1}{t}\) вместе: \(\dfrac1{t_1}+\dfrac1{t_2}\)
В задачах на работу объём работы обычно не дан — принимаем его за 1.
Кто делает всё за \(t\) часов, за час делает \(\frac1t\) часть.
Работая вместе, производительности складывают, а не время.
Если один делает работу за 3 часа, другой за 6, то вместе за час они делают
\(\frac13+\frac16=\frac12\), и вся работа займёт 2 часа.
Что спросить у класса
Почему время работы вместе нельзя складывать?
Может ли вдвоём получиться дольше, чем у быстрого одного?
7 из 12
Задача про две трубы
вместе за 6 ч; первая на 5 ч быстрее \(\dfrac1x+\dfrac1{x+5}=\dfrac16\) \(x^2-7x-30=0\) → \(x=10\): 10 ч и 15 ч
Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Первая труба одна
наполняет его на 5 часов быстрее второй. За сколько часов наполняет каждая?
Пусть первая — за \(x\) ч, вторая — за \(x+5\). Умножаем на \(6x(x+5)\):
\(12x+30=x^2+5x\), \(x^2-7x-30=0\), \(D=169\), корни \(10\) и \(-3\).
Ответ: 10 и 15 часов. Проверка: \(\frac1{10}+\frac1{15}=\frac16\).
Что спросить у класса
На что умножали обе части?
Сколько величин спрашивали в задаче?
8 из 12
Смеси и растворы
масса вещества \(=\) процент \(\cdot\) масса смеси \(0{,}3x+0{,}1(400-x)=0{,}15\cdot400\) \(x=100\): 100 г и 300 г
В задачах на смеси считают не проценты, а массу чистого вещества: при смешивании
она складывается.
Смешали 30%-й и 10%-й растворы и получили 400 г 15%-го. Пусть 30%-го взяли
\(x\) г. Вещества в нём \(0{,}3x\), в другом \(0{,}1(400-x)\), в итоге
\(0{,}15\cdot400=60\). \(0{,}2x+40=60\), \(x=100\). Ответ: 100 г и 300 г.
Что спросить у класса
Почему нельзя складывать проценты?
Сколько вещества в 400 г 15%-го раствора?
9 из 12
Задача как в ОГЭ
120 км со скоростью 60, 240 км — 80, 90 км — 90 время: \(2+3+1=6\) ч, путь 450 км \(v_{ср}=450:6=75\) км/ч
Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Это не среднее
арифметическое скоростей: \(\frac{60+80+90}{3}\approx76{,}7\) — неверно.
Считаем время каждого участка: \(120:60=2\), \(240:80=3\), \(90:90=1\).
Всего 6 часов на 450 км — средняя скорость 75 км/ч.
Что спросить у класса
Почему нельзя найти среднее трёх скоростей?
Какой участок сильнее всего повлиял на среднюю скорость?
10 из 12
Самостоятельная работа
1) лодка: 30 км по течению — за то же время, что 20 км против; течение 2 км/ч 2) вдвоём за 12 дней, первый один за 20 — второй один? 3) сколько воды добавить к 200 г 20%-го раствора, чтобы стал 8%-й? 4) 36 км; на 3 км/ч быстрее — на 1 ч раньше: скорость? 5) 2 ч по 70 км/ч и 3 ч по 80 км/ч: средняя скорость? 6) трубы вместе за 3 мин 45 с, первая на 4 мин быстрее — время каждой?
Задания разных типов: течение, работа, растворы, квадратное уравнение,
средняя скорость.
Ответы для учителя: 1) 10 км/ч; 2) 30 дней; 3) 300 г; 4) 9 км/ч;
5) 76 км/ч; 6) 6 мин и 10 мин.
Что спросить у класса
В какой задаче не нужно квадратное уравнение?
Как в третьей задаче меняется масса соли?
11 из 12
Частые ошибки
оставили отрицательный корень ✗ минуты и часы в одном уравнении ✗ ответили про \(x\), а спрашивали другое ✗
Главная ошибка — оставить корень без смысла: отрицательную скорость или
время. Каждый корень проверяют на смысл и отбрасывают вслух.
Ещё две: смешать единицы (45 минут — это \(\frac34\) часа, а не 45)
и дать ответ на переменную, когда вопрос был о другой величине.
Что спросить у класса
Как перевести 45 минут в часы?
Что сделать последним перед записью ответа?
12 из 12
После урока
Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.