Разбор задания №10 ОГЭ — вероятности

Коротко: $P=\dfrac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все исходы}}$. Аккуратно считаем оба числа, делим и записываем ответ десятичной дробью. Вероятность всегда от 0 до 1.

Главная идея: вероятность — это просто доля. Сколько случаев нам подходит из всех, какие вообще бывают. Отсюда следует всё остальное: она никогда не бывает больше единицы, её нельзя посчитать, не зная общего количества, и потому считать надо со знаменателя, а не с того, о чём спрашивают.

4 шага для любой вероятности

1. Сосчитайте все исходы — знаменатель $n$. Это самое частое место ошибки: в общее число входят все предметы или все люди, а не только те, о ком спрашивают.
2. Сосчитайте подходящие — числитель $m$. Перечитайте, какое именно событие нужно.
3. Разделите и переведите в десятичную дробь: $P=\dfrac{m}{n}$.
4. Проверьте границы: ответ обязан лежать между 0 и 1.

Что нужно помнить

• Классическая формула: $P(A)=\dfrac{m}{n}$, где $n$ — число всех равновозможных исходов, $m$ — число исходов, при которых событие наступает.
• Сначала считаем знаменатель $n$ (общее количество), потом числитель $m$ (сколько подходит).
• Противоположное событие: $P(\text{не }A)=1-P(A)$ — удобно для «хотя бы» и «не».
• Ответ — десятичная дробь: $\dfrac{5}{8}=0{,}625$. Вероятность не бывает больше 1.
• Круги Эйлера (два пересекающихся круга): число элементов хотя бы в одном множестве — $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ (общую часть вычитаем, чтобы не считать дважды).
• Дерево случайного опыта: вдоль одной ветки вероятности перемножаем, а вероятности разных подходящих веток складываем.

Игральный кубик

Игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число очков.

1. Всего исходов: грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 — значит $n=6$.
2. Благоприятные (чётные): 2, 4, 6 — значит $m=3$.
3. $P=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$.

Шары в мешке

В мешке 5 красных и 3 синих шара. Наугад достают один шар. Найдите вероятность, что он красный.

1. Всего шаров: $5+3=8$, значит $n=8$.
2. Красных: $m=5$.
3. $P=\dfrac{5}{8}=0{,}625$.

Через противоположное событие

Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна 0,93. Найдите вероятность, что он прослужит меньше года.

1. «Меньше года» — это противоположное событие к «больше года».
2. $P(\text{не }A)=1-P(A)=1-0{,}93$.
3. $P=0{,}07$.

Круги Эйлера

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$. В каждой области указано, сколько исходов ей принадлежит. Найдите вероятность события $A$.

Как читать рисунок. Число в «лепестке» только $A$ — это исходы, попавшие лишь в $A$ (10). Число в общей части кругов — исходы, которые сразу и в $A$, и в $B$ (4). Число снаружи кругов — исходы, не входящие ни в $A$, ни в $B$ (20).

1. Всего исходов: $10+4+6+20=40$.
2. Событие $A$ — это весь круг $A$. Он складывается из «только $A$» и пересечения $A\cap B$: $10+4=14$.
3. Вероятность — это число благоприятных исходов делить на общее число исходов: $P(A)=14 : 40 = 0,35$.

Какие вопросы задают к этому рисунку

Рисунок один, а спросить могут разное. Знаменатель всегда один и тот же — общее число исходов. Меняется только числитель: какие области считаем.

Дерево случайного опыта

Опыт идёт в два шага, и на рисунке видно оба. Числа написаны прямо на ветках — считать почти ничего не нужно, важно понять, что где.

Шаг 1. Что означают ветки

Опыт идёт в два хода, и дерево показывает оба. Слева точка S — начало. Каждая развилка — это выбор, который делает случай, а число на ветке — вероятность пойти по ней.

• Первая развилка (из S). Верхняя ветка ведёт в событие A, нижняя — в противоположное. Написано 0,25 и 0,75. Сложите: 0,25 + 0,75 = 1. Так и должно быть — третьего пути из этой точки нет.
• Вторая развилка (из A и из «не A»). Здесь ветки ведут к B и к «не B». Число на них — вероятность B при условии, что мы уже пришли в эту точку. Сверху 0,8, снизу 0,4. Они разные — в этом вся задача: шанс получить B зависит от того, как сложился первый шаг.
• Проверка развилок. У верхней: 0,8 + 0,2 = 1. У нижней: 0,4 + 0,6 = 1. Если у вас не единица — вы неверно прочли рисунок.

Шаг 2. Считаем каждый путь до конца

Путь — это дорога от S до крайней точки. Чтобы узнать его вероятность, числа вдоль пути перемножают: сначала должно случиться первое, потом второе.

Сложите весь столбец: 0,2 + 0,05 + 0,3 + 0,45 = 1. Это главная проверка: все пути вместе покрывают ровно все случаи.

Шаг 3. Отвечаем на вопрос

Теперь смотрим, какие пути подходят под вопрос, и складываем их вероятности.

• Найдите P(B). B стоит в конце двух путей — верхнего и нижнего. Значит 0,2 + 0,3 = 0,5.
• Найдите вероятность, что случилось и A, и B. Это один путь, верхний: 0,2. Складывать не с чем.
• Найдите P(не B). Два пути с «не B»: 0,05 + 0,45 = 0,5. Или короче: 1 − P(B) = 1 − 0,5 = 0,5.

Что считать за «все исходы»

Тут теряется больше всего баллов во всём задании. В знаменатель попадает не то число, потому что его берут из вопроса, а не из условия.

Посчитай знаменатель

Только первый шаг: сколько всего исходов. Числитель пока не нужен.

Когда считать через противоположное

Иногда прямой подсчёт длинный, а обходной — в одно действие. Признак виден прямо в формулировке вопроса.

Напрямую или через единицу

Выбор способа — половина решения. Второй вопрос в каждой паре уже про счёт.

Читаем круги Эйлера

Здесь ошибаются иначе: общую часть двух кругов считают дважды.

Как убедиться, что ответ верный

1. Проверьте границы. Вероятность лежит между 0 и 1. Получилось больше единицы — числитель и знаменатель перепутаны местами.
2. Сравните числитель со знаменателем. Подходящих исходов не может быть больше, чем всех.
3. Прикиньте на глаз. Если подходит примерно половина случаев, ответ должен быть около 0,5. Число вроде 0,05 при половине — верный признак ошибки.
4. Проверьте через противоположное. Посчитайте вероятность обратного события: вместе они обязаны дать ровно единицу.

Поймай ошибку

Чужое решение, в нём сломан ровно один шаг. Найти его в чужой работе легче, чем в своей, — а ошибка тут та же, что делают сами.

Частые ошибки